PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 10

La masa m no es una partícula libre, ya que en todo momento está obligada a moverse sobre un plano que gira con velocidad constante w. Por ese motivo sólo necesitaremos dos coordenadas para describir su posición.


descomposición de fuerzas

Si tomamos coordenadas cilíndricas y suponemos que el eje X es el eje de giro, las coordenadas generalizadas del punto serán (x, ρ) y la energía cinética vendrá dada por
    \( \displaystyle T = \frac{1}{2}m \left(\dot{\rho}^2 + \rho^2·\dot{\varphi}^2 + \dot{x}^2\right) \Rightarrow \upsilon = \frac{1}{2}m \left(\dot{\rho}^2 + \rho^2·\omega^2 + \dot{x}^2\right) \)
puesto que se tiene :
    \( \displaystyle \varphi = \omega·t \Rightarrow \dot{\varphi} = \frac{d\varphi}{dt} = \omega \)
Si consideramos que sobre el sistema actúa el campo gravitatorio, resultará :
    \( V = mgz\Rightarrow \upsilon = mg·\rho·\sin \omega t \)
y la lagrangiana será :
    \( \displaystyle \mathfrak{L} = \frac{1}{2}·m\left(\dot{\rho}^2 + \rho^2·\omega^2 + \dot{x}^2\right) - mg·\rho·\sin \omega t \)
Las ecuaciones del movimiento vendrán dadas por las expresiones:
    \( \displaystyle \sum_{i=1}^2\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{q}_i}\right)- \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial q_i}\right] = 0 \)
que calculamos a continuación para el caso que nos aplica.
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \rho} = m·\rho·\omega^2 - mg·\sin \omega t \; ; \; \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{\rho}} = m.\dot{\rho} \quad ; \quad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{\rho}}\right) = m.\ddot{\rho} \\ \\ \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial x} = 0 \quad ; \quad \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{x}} = m.\dot{x} \quad ; \quad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{x}}\right) = m.\ddot{x} \end{array} \)
De ese modo tenemos :
    \( \begin{array}{l} m·\ddot{\rho} - m·\rho·\omega^2 - mg·\sin \omega t = 0 \\ \\ m·\ddot{x} = 0 \end{array} \)
PROBLEMAS DE CINEMÁTICA - EJERCICIOS DE MECÁNICA - PROBLEMAS DE DINÁMICA


tema escrito por: José Antonio Hervás