PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 9

Para simplificar el problema vamos a suponer que el movimiento es plano; de ese modo, las coordenadas necesarias para describir la posición del sistema serán dos; una de ellas el ángulo que marca la separación del sistema de la vertical, que denotaremos por y la otra la distancia x del centro del bloque al punto a marcado sobre la varilla.



La energía cinética del sistema vendrá dada por :
    \( \displaystyle T = \frac{1}{2}m \left(\dot{\rho}^2 + \rho^2\dot{\varphi}^2 + \dot{x}^2\right) \Rightarrow \upsilon = \frac{1}{2}m \left(\dot{\rho}^2 + \rho^2\omega^2 + \dot{x}^2\right) \)
y escribiendo los valores en función de las coordenadas generalizadas.

Para x1:
    \( \displaystyle \left. \begin{array}{l}x_1 = l·\cos \varphi\quad ; \quad \dot{x}_1 = - \dot{\varphi}l\sin \varphi \\ \\ y_1 = l·\sin \varphi\quad ; \quad \dot{y}_1 = - \dot{\varphi}l\cos \varphi \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \left(\dot{x}_1\right)^2 + \left(\dot{y}_1\right)^2 = \left(\dot{\varphi}\right)^2 · \left(l\right)^2 \)
Para x2 :

    \( \begin{array}{l}
    x_2 = (a+x)\cos \varphi \quad ; \quad \dot{x}_2 = \dot{x}\cos \varphi - \dot{\varphi}(a+x)\sin \varphi \\
    \\
    y_2 = (a+x)\sin \varphi \quad ; \quad \dot{y}_2 = \dot{y}\sin \varphi + \dot{\varphi}(a+x)\cos \varphi
    \end{array} \)
y de ahí :

    \( \displaystyle \left(\dot{x}_2\right)^2 + \left(\dot{y}_2\right)^2 = \left(\dot{x}\right)^2 + \left(\dot{\varphi}\right)^2 · \left(a + x\right)^2 \)
Con todo lo anterior podemos poner :
    \( \displaystyle T = \frac{1}{2}m \left\{ \left(\dot{x}_2\right)^2 + \left(\dot{y}_2\right)^2\right\} =\frac{1}{2}m \left\{ \left(\dot{\varphi}\right)^2 \left[ l^2 + \left(a + x\right)^2\right] + \left(\dot{x}\right)^2 \right\} \)
Para obtener la energía potencial hemos de considerar el campo gravitatorio y la energía debida al muelle:
    \( \displaystyle V = mgx_1 + mgx_2 + \frac{1}{2}kx^2 \Rightarrow \upsilon = - mg(l+a+x)\cos \varphi + \frac{1}{2}kx^2 \)
La lagrangiana del sistema será:
    \( \displaystyle T = \frac{1}{2}m \left\{ \left(\dot{\varphi}\right)^2 \left[ l^2 + \left(a + x\right)^2\right] + \left(\dot{x}\right)^2 \right\} + mg(l+a+x)\cos \varphi - \frac{1}{2}kx^2 \)
y podemos poner. Para la coordenada angular :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial\varphi} = - (l+a+x)mg\sin \varphi \; ; \; \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial\dot{\varphi}} = m \dot{\varphi}\left[l^2 + (a+x)^2\right] \\ \\ \\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial\dot{\varphi}}\right) = m \ddot{\varphi}\left[l^2 + (a+x)^2\right] + m \dot{\varphi}\left[2(a+x)\dot{x}\right] \end{array} \)
y para la coordenada lineal:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial x} = m\dot{\varphi}^2(a+x) + mg\cos \varphi - kx \ \\  \\ \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{x}} = m\dot{x} \quad ; \quad\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{x}}\right) = m\ddot{x} \end{array} \)
Las ecuaciones del movimiento serán entonces :
    \( \begin{array}{l} m\ddot{\varphi}\left[l^2 + (a+x)^2\right] + m\dot{\varphi}\left[2(a+x)\dot{x}\right] + (l+a+x)mg\sin \varphi = 0 \\ \\ m\ddot{x} - m\dot{\varphi}^2(a+x) - mg\cos \varphi + kx = 0 \end{array} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás