PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 8

Vamos a considerar que el movimiento se desarrolla en un plano por lo que sólo necesitamos dos coordenadas generalizadas para describir su posición.

esquema de péndulo doble


Si tomamos los ángulos \(\phi_1 \; y \; \phi_2\) y consideramos los ejes X e Y según están señalados en la figura, podemos poner :

    \( \begin{array}{l}
    x_1 = l_1·\cos \phi_1 \qquad ; \qquad y_1 = l_1·\sin \phi_1 \\
    \\
    x_2 = l_1·\cos \phi_1 + l_2·\cos \phi_2\quad ; \quad y_1 = l_1·\sin \phi_1 + l_2·\sin \phi_2

    \end{array} \)
Según estos datos, podemos determinar la energía cinética del sistema que será :

    \( \displaystyle T = \frac{1}{2}m\left(\dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2\right) + \frac{1}{2}m\left(\dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2\right) \)
Para obtener el valor de la expresión encerrada dentro del primer paréntesis hacemos

    \( \displaystyle \left. \begin{array}{l} \dot{x}_1 = - \dot{\phi}_1l_1\sin \phi_1 \\ \\ \dot{y}_1 = - \dot{\phi}_1l_1\cos \phi_1 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \left(\dot{x}_1\right)^2 + \left(\dot{y}_1\right)^2 = \left(\dot{\phi}_1\right)^2 · \left(l_1\right)^2 \)
De igual forma, para el cuerpo 2 tenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left(\dot{x}_2\right)^2 + \left(\dot{y}_2\right)^2 = \left(\dot{\phi}_1\right)^2 \left(l_1\right)^2 + \left(\dot{\phi}_2\right)^2 \left(l_2\right)^2 \\  \\ + 2\dot{\phi}_1\dot{\phi}_2l_1l_2\cos(\phi_1 - \phi_2) \end{array}\)
Por todo ello, la energía cinética en coordenadas generalizadas será :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \mathfrak{T} = \frac{1}{2}m_1\left(\dot{\phi}_1l_1\right)^2 + \\  \\ + \frac{1}{2}m_1\left[\left(\dot{\phi}_1l_1\right)^2 + \left(\dot{\phi}_2l_2\right)^2 + 2\dot{\phi}_1\dot{\phi}_2l_1l_2\cos(\phi_1 - \phi_2) \right] \end{array} \)
Para obtener la lagrangiana debemos considerar además la energía potencial de cada masa. Como sobre el sistema sólo actúa la fuerza de la gravedad, podemos poner :
    \( V = m_1·g·x_1 + m_2·g·x_2\)
Y tomando coordenadas generalizadas :

    \( \upsilon = - m_1g·l_1·\cos \phi_1 - m_2g(l_1 \cos \phi_1 + l_2\cos \phi_2) \)
La lagrangiana del sistema es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial en coordenadas generalizadas y las ecuaciones del movimiento se expresarán :
    \( \displaystyle \sum_{i=1}^2\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{q}_i}\right)- \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial q_i}\right] = 0\qquad (*) \)
Para cada término del desarrollo y considerando la notación utilizada para las variables generalizadas, tenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial q_1} = -m_2\dot{\phi}_1\dot{\phi}_2·l_1l_2·\sin(\phi_1 - \phi_2)- (m_1 - m_2)·g·l_1· \sin \phi _1 \\
    \\
    \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{q}_1} = m_1·l_1^2 \dot{\phi}_1+ m_2·l_1^2 \dot{\phi}_1 + m_2·\dot{\phi}_2·l_1·l_2·\cos(\phi_1 - \phi_2)
    \\
    \\
    \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{q}_1}\right) = m_1·l_1^2·\ddot{\phi}_1 + m_2·l_1^2·\ddot{\phi}_1 + m_2·\ddot{\phi}_2·l_1·l_2·\cos (\phi_1 - \phi_2)-
    \\ \\
    \qquad \qquad \qquad \qquad - m_2·\dot{\phi}_2·l_1·l_2 \left(\dot{\phi}_1 - \dot{\phi}_2\right)·\sin (\phi_1 - \phi_2)\\
    \\
    \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial q_2} = -m_2\dot{\phi}_1\dot{\phi}_2·l_1l_2·\sin(\phi_1 - \phi_2)- m_2·g·l_1· \sin \phi _2
    \\
    \\
    \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{q}_2} = m_1·l_2\dot{\phi}_2+ m_2·\dot{\phi}_1·l_1·l_2·\cos(\phi_1 - \phi_2)
    \\
    \\
    \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{q}_2}\right) = m_1·l_2·\ddot{\phi}_2 + m_2·\ddot{\phi}_2·l_1·l_2·\cos (\phi_1 - \phi_2)-
    \\ \\
    \qquad \qquad \qquad \qquad - m_2·\dot{\phi}_1·l_1·l_2 \left(\dot{\phi}_1 - \dot{\phi}_2\right)·\sin (\phi_1 - \phi_2)
    \end{array} \)
Sustituyendo valores en (*) obtendremos las ecuaciones del movimiento para el objeto considerado.
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tema escrito por: José Antonio Hervás