Obtener la lagrangiana y las ecuaciones del movimiento del péndulo doble representado en la figura adjunta, en el que las longitudes l1 y l2 se corresponden con las masas m1 y m2. RESPUESTA 8 Vamos a considerar que el movimiento se desarrolla en un plano por lo que sólo necesitamos dos coordenadas generalizadas para describir su posición. Si tomamos los ángulos y y consideramos los ejes X e Y según están señalados en la figura, podemos poner :

Según estos datos, podemos determinar la energía cinética del sistema que será :



Para obtener el valor de la expresión encerrada dentro del primer paréntesis hacemos



De igual forma, para el cuerpo 2 tenemos:



Por todo ello, la energía cinética en coordenadas generalizadas será :



Para obtener la lagrangiana debemos considerar además la energía potencial de cada masa. Como sobre el sistema sólo actúa la fuerza de la gravedad, podemos poner :

V = m₁.g.x₁ + m₂.g.x₂

Y tomando coordenadas generalizadas :



La lagrangiana del sistema es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial en coordenadas generalizadas y las ecuaciones del movimiento se expresarán :



Para cada término del desarrollo y considerando la notación utilizada para las variables generalizadas, tenemos:













Sustituyendo valores en (*) obtendremos las ecuaciones del movimiento para el objeto considerado.

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