Obtener
la lagrangiana y las ecuaciones del movimiento del péndulo
doble representado en la figura adjunta, en el que las longitudes
l1 y l2 se corresponden con las masas m1
y m2. RESPUESTA 8 Vamos a considerar que el movimiento se desarrolla en un plano por lo que sólo necesitamos dos coordenadas generalizadas para describir su posición. Si tomamos los ángulos  y
 y
consideramos los ejes X e Y según están señalados
en la figura, podemos poner : |
 |
Según estos datos, podemos determinar la energía cinética del sistema que será :
Para obtener el valor de la expresión encerrada dentro del primer paréntesis hacemos
De igual forma, para el cuerpo 2 tenemos:
Por todo ello, la energía cinética en coordenadas generalizadas será :
Para obtener la lagrangiana debemos considerar además la energía potencial de cada masa. Como sobre el sistema sólo actúa la fuerza de la gravedad, podemos poner :
V = m1.g.x1 + m2.g.x2Y tomando coordenadas generalizadas :
La lagrangiana del sistema es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial en coordenadas generalizadas y las ecuaciones del movimiento se expresarán :
Para cada término del desarrollo y considerando la notación utilizada para las variables generalizadas, tenemos:
Sustituyendo valores en (*) obtendremos las ecuaciones del movimiento para el objeto considerado.