Determinar
las ecuaciones del movimiento de un péndulo esférico,
es decir, de un punto suspendido de una varilla rígida
y sin peso.
RESPUESTA 7
Cuando un punto material, no sujeto a restricciones, se mueve,
necesitamos tres coordenadas para describir su posición;
pero en el caso que estamos tratando, el punto está sujeto
al extremo de una varilla rígida de longitud constante
y, por tanto, tiene su movimiento constreñido a la superficie
de una esfera de radio igual a la longitud de la varilla.
Como la superficie descrita por el punto es una esfera,
tomamos coordenadas esféricas para describir el
movimiento, pero teniendo en cuenta que el radio es constante
sólo serán necesarias dos coordenadas generalizadas
para describir la posición del punto. Vamos a emplear
como coordenadas generalizadas los ángulos alfa
( )
y beta ( ).
En general, la expresión para la energía
cinética del punto puede ser :
y escribiendo las coordenadas cartesianas en función
de las coordenadas generalizadas,
tenemos : |
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de donde resulta :
Si elevamos al cuadrado cada una de las expresiones anteriores
y sustituimos en la ecuación que nos da la energía
cinética, T, resulta :
Por otro lado, sobre el cuerpo actúa un campo potencial
de la forma :
con lo que la Lagrangiana del sistema vale :
y las ecuaciones del movimiento serán :
Para la coordenada alfa tenemos :
y para la coordenada beta :
Las ecuaciones del movimiento quedan entonces en la forma :
|
|
