PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 7

Cuando un punto material, no sujeto a restricciones, se mueve, necesitamos tres coordenadas para describir su posición; pero en el caso que estamos tratando, el punto está sujeto al extremo de una varilla rígida de longitud constante y, por tanto, tiene su movimiento constreñido a la superficie de una esfera de radio igual a la longitud de la varilla.

coordenadas esféricas


Como la superficie descrita por el punto es una esfera, tomamos coordenadas esféricas para describir el movimiento, pero teniendo en cuenta que el radio es constante sólo serán necesarias dos coordenadas generalizadas para describir la posición del punto. Vamos a emplear como coordenadas generalizadas los ángulos alfa (α) y beta (β).
En general, la expresión para la energía cinética del punto puede ser :

    \( \mathrm{T} = \frac{1}{2}m \left(\dot{x}^2 +\dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right) \)
y escribiendo las coordenadas cartesianas en función de las coordenadas generalizadas,
tenemos :
    \( x = l\sin\alpha \cos\beta \quad ; \quad y = l\cos\alpha \sin \beta \quad ; \quad z = - l\sin\beta \)
de donde resulta :
    \( \begin{array}{l} \dot{x} = -l\dot{\beta}\sin \beta\sin \alpha + l\dot{\alpha}\cos \alpha\cos \beta\\ \\ \dot{y}= -l\dot{\beta}\sin \beta\cos \alpha + l\dot{\alpha}\cos \alpha\sin \beta \\ \\ \dot{z} = -l\dot{\beta}\cos \beta \end{array} \)
Si elevamos al cuadrado cada una de las expresiones anteriores y sustituimos en la ecuación que nos da la energía cinética, T, resulta :

    \( T = \frac{1}{2}m \left(\dot{x}^2 +\dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right) \Rightarrow \mathfrak{T}= \frac{1}{2}ml^2 \left(\dot{\beta}^2 + \dot{\alpha}^2\cos^2 \beta\right) \)
Por otro lado, sobre el cuerpo actúa un campo potencial de la forma :
    \( V = mgz \Rightarrow \upsilon = -mgl\sin\beta \)
con lo que la Lagrangiana del sistema vale :
    \( \displaystyle \mathfrak{L} = \mathfrak{T} - \upsilon =\frac{1}{2}ml^2 \left(\dot{\beta}^2 + \dot{\alpha}^2\cos^2 \beta\right) + mgl\sin\beta \)
y las ecuaciones del movimiento serán :
    \( \displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial \dot{\alpha}}\right) - \frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial \alpha} = 0 \quad ; \quad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial \dot{\beta}}\right) - \frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial \beta} = 0 \)
Para la coordenada alfa tenemos :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial \alpha} = 0 \quad ; \quad \frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial \dot{\alpha}} = ml^2\dot{\alpha}\cos^2 \beta \\ \\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial \dot{\alpha}}\right) = ml^2\ddot{\alpha}\cos^2 \beta - 2ml^2\dot{\alpha}\dot{\beta}\cos \beta·\sin\beta \end{array} \)
y para la coordenada beta :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial \beta} = ml^2\dot{\alpha}^2\cos \beta \sin\beta + mgl \cos\beta \quad ; \quad \frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial \dot{\beta}} = ml^2\dot{\beta} \\ \\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathfrak{L}}{\partial \dot{\beta}}\right) = ml^2\ddot{\beta} \end{array} \)
Las ecuaciones del movimiento quedan entonces en la forma :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} ml^2\ddot{\alpha}\cos \beta - 2ml^2 \dot{\alpha} \dot{\beta} \sin \beta = 0\\ \\ ml^2 \ddot{\beta}^2 + \frac{1}{2}ml^2 \dot{\alpha}^2. \sin 2\beta - mgl\cos \beta = 0 \end{array} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás