PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 6

Para simplificar el problema vamos a considerar que el movimiento se desarrolla en un plano.

esquema de movimiento

Según eso, el sistema, representado en la figura adjunta, tiene un movimiento que consiste, por una parte, en que el punto a se mueve sobre una circunferencia y, por otro lado, en que los extremos de la varilla giran alrededor de A.
Al moverse en el plano, el sistema tiene cuatro coordenadas, pero como existen dos ligaduras holónomas y bilaterales, a saber :

    \( x^2 + y^2 = a^2 \quad ; \quad (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = l^2 \)
podemos describir su posición en todo momento empleando tan solo dos coordenadas generalizadas. Tomaremos para ello los ángulos alfa (α) y beta (β).
La energía cinética del sistema será :
    \( \displaystyle T = \frac{1}{2}m\left(\dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2\right) + \frac{1}{2}m\left(\dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2\right) \)
donde (x1, y1) y (x2, y2) son las coordenadas de las partículas respecto al referencial inercial (R.I.). Para poner dicha expresión en función de las coordenadas generalizadas, hacemos :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} x_1 = a\cos \alpha + \frac{1}{2}l\cos \beta \Rightarrow \dot{x}_1 = - \dot{\alpha}a\sin \alpha - \frac{1}{2}\dot{\beta}l\sin \beta \\ \\ y_1 = a\sin \alpha + \frac{1}{2}l\sin \beta \Rightarrow \dot{y}_1 = \dot{\alpha}a\cos \alpha + \frac{1}{2}\dot{\beta}l\cos \beta \\ \\ x_2 = a\cos\alpha - \frac{1}{2}l\cos \beta \Rightarrow \dot{x}_2 = - \dot{\alpha}a\sin \alpha + \frac{1}{2}\dot{\beta}l\sin \beta\\ \\ y_2 = a\sin \alpha + \frac{1}{2}l\sin \beta \Rightarrow \dot{y}_2 = \dot{\alpha}a\cos \alpha - \frac{1}{2}\dot{\beta}l\cos \beta \end{array} \)
Según estas expresiones, la energía cinética de cada partícula se expresará:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{1}{2}m\left(\dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2\right) = \frac{1}{2}m\left(a^2\dot{\alpha}^2 + \dot{\beta}\left(\frac{1}{2}l\right)^2\right)+ al\dot{\alpha}\dot{\beta}(\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) \\ \\ \frac{1}{2}m\left(\dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2\right) = \frac{1}{2}m\left(a^2\dot{\alpha}^2 + \dot{\beta}\left(\frac{1}{2}l\right)^2\right)- al\dot{\alpha}\dot{\beta}(\sin\alpha \sin\beta + \cos\alpha \cos\beta) \end{array} \)
y la energía cinética total en coordenadas generalizadas será :

    \( \displaystyle \tau = m \left(a^2\dot{\alpha}^2 + \dot{\beta}\left(\frac{1}{2}l\right)^2\right) \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás