Expresar las componentes cartesianas del vector velocidad angular en función de los ángulos de Euler, sobre los ejes del espacio y sobre los ejes del cuerpo.

RESPUESTA 5

Para expresar las componentes cartesianas del vector velocidad angular en función de los ángulos de Euler podemos considerar que el cambio de posición debido a su velocidad angular es producido por el efecto de tres rotaciones independientes relacionadas directamente con los ángulos de Euler.

Una primera rotación hace variar el ángulo y consiste en un giro alrededor del eje z del espacio; una segunda rotación hace variar el ángulo y consiste en un giro alrededor de la línea de nodos y, por último, una tercera rotación hace variar el ángulo y consiste en un giro alrededor del eje z' del cuerpo.
Si consideramos tres vectores unitarios no coplanarios en las direcciones respectivas de los ejes señalados, la velocidad angular se podrá expresar:

De esta expresión podemos obtener las componentes cartesianas de en los ejes del espacio o del cuerpo, sustituyendo en función de o respectivamente. Para el primer caso tenemos, observando la figura adjunta:

Nota.- Puede parecer, en principio, que la proyección del vector sobre el plano xy (k'xy) no forma un ángulo con el eje "y" negativo del espacio, pero ello si es así puesto que z' y la línea de nodos son perpendiculares entre si en todo momento y la inclinación del eje z' es sobre un plano perpendicular a la línea de nodos.

Continuando con el ejercicio podemos poner:



y agrupando términos:



o lo que es igual:



Para el segundo caso debemos obtener en función de . Para ello tenemos, según la figura anterior:







de donde se tiene:



y agrupando términos:



o lo que es igual:

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