PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica clasica

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Ejercicios de Mecánica

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Ejercicios de mecánica

Respuesta al ejercicio 5

Para expresar las componentes cartesianas del vector velocidad angular en función de los ángulos de Euler podemos considerar que el cambio de posición debido a su velocidad angular es producido por el efecto de tres rotaciones independientes relacionadas directamente con los ángulos de Euler.

Una primera rotación hace variar el ángulo Φ y consiste en un giro alrededor del eje z del espacio; una segunda rotación hace variar el ángulo θ y consiste en un giro alrededor de la línea de nodos y, por último, una tercera rotación hace variar el ángulo Ψ y consiste en un giro alrededor del eje z' del cuerpo.
Si consideramos tres vectores unitarios \( \hat{k}, \hat{e}_\phi \;y\; \hat{k}'\) no coplanarios en las direcciones respectivas de los ejes señalados, la velocidad angular se podrá expresar:
    \(\vec{w} = \dot{\phi}·\hat{k} + \dot{\theta}·\hat{e}_\phi + \dot{\psi}·\hat{k}' \)

De esta expresión podemos obtener las componentes cartesianas de \(\vec{w}\) en los ejes del espacio o del cuerpo, sustituyendo \( \hat{k}, \hat{e}_\phi \;y\; \hat{k}'\) en función de \( \hat{i}, \hat{j} , \hat{k}\) o \( \hat{i}', \hat{j}' , \hat{k}'\) respectivamente.

ángulos de Euler


Para el primer caso tenemos, observando la figura adjunta:
    \( \begin{array}{l} \hat{k}' = \hat{k}'_{xy}\sin \theta + \hat{k}\cos \theta = \hat{i}\sin \phi·\sin \theta - \hat{j} \cos \phi· \sin \theta + \hat{k}\cos \theta \\ \\ \hat{e}_\phi = \hat{i}·\cos \phi + \hat{j}·\sin \phi \\ \\ \hat{k} = \hat{k} \end{array} \)
Nota.- Puede parecer, en principio, que la proyección del vector \(\hat{k}\) sobre el plano xy (k'xy) no forma un ángulo Φ con el eje "y" negativo del espacio, pero ello si es así puesto que z' y la línea de nodos son perpendiculares entre si en todo momento y la inclinación del eje z' es sobre un plano perpendicular a la línea de nodos.

Continuando con el ejercicio podemos poner:
    \(\begin{array}{l} \vec{w} = \dot{\phi}·\hat{k} + \dot{\theta}(\hat{i}\cos \phi + \hat{j}·\sin \phi)+ \\  \\ + \dot{\psi}(\hat{i}·\sin\phi ·\sin \theta - \hat{j}·\cos\phi ·\sin \theta + \hat{k}·\cos \theta ) \end{array} \)
y agrupando términos:
    \(\begin{array}{l}
    \vec{w} = \left(\dot{\theta}·\cos \phi + \dot{\psi}·\sin \phi \sin \theta\right)\hat{i}+ \\
     \\
    + \left(\dot{\theta}·\sin \phi - \dot{\psi}·\cos \phi \sin \theta\right)\hat{j} + \left(\dot{\phi} + \dot{\psi}·\cos \theta\right)\hat{k}
    \end{array} \)
o lo que es igual:
    \( \begin{array}{l} w_x = \dot{\theta}·\cos \phi + \dot{\psi}·\sin \phi \sin \theta \\ \\ w_y = \dot{\theta}·\sin \phi - \dot{\psi}·\cos \phi \sin \theta\\ \\ w_z = \dot{\phi} + \dot{\psi}·\cos \theta \end{array} \)
Para el segundo caso debemos obtener\( \hat{k}, \hat{e}_\phi \;y\; \hat{k}'\) en función de \( \hat{i}', \hat{j}' , \hat{k}'\) , para ello tenemos, según la figura anterior:
    \( \begin{array}{l} \hat{k} = \hat{i}'\sin \phi·\sin \theta - \hat{j}' \cos \phi· \sin \theta + \hat{k}'\cos \theta \\ \\ \hat{e}_\phi = \hat{i}'·\cos \phi + \hat{j}'·\sin \phi \\ \\ \hat{k}' = \hat{k}' \end{array} \)
de donde se tiene:
    \(\begin{array}{l}
    \vec{w} = \dot{\phi}(\hat{i}'\sin \theta\sin \phi + \hat{j}'·\sin \theta·\cos \phi + \cos \theta·\hat{k}')+ \\
     \\
    + \dot{\theta}(\hat{i}'·\cos\phi - \hat{j}'·\sin\phi) + \dot{\phi}·\hat{k}'
    \end{array} \)
y agrupando términos:
    \(\begin{array}{l}
    \vec{w} = \left(\dot{\theta}·\cos \phi + \dot{\phi}·\sin \phi \sin \theta\right)\hat{i}'+ \\
     \\
    + \left(\dot{\phi}·\sin \theta·\cos\phi - \dot{\theta}·\cos \phi \right)\hat{j}' + \left(\dot{\psi}·\cos \theta + \dot{\psi}\right)\hat{k}'
    \end{array} \)
o lo que es igual:
    \( \begin{array}{l} w_x = \dot{\theta}·\cos \phi + \dot{\phi}·\sin \phi ·\sin \theta \\ \\ w_y = \dot{\phi}·\sin \theta·\cos\phi - \dot{\theta}·\sin \phi \\ \\ w_z = \dot{\psi} + \dot{\phi}·\cos \theta \end{array} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás