Expresar las componentes cartesianas del vector velocidad angular
en función de los ángulos de Euler, sobre los ejes
del espacio y sobre los ejes del cuerpo.
RESPUESTA 5
Para expresar las componentes cartesianas del vector velocidad
angular en función de los ángulos de Euler podemos
considerar que el cambio de posición debido a su velocidad
angular es producido por el efecto de tres rotaciones independientes
relacionadas directamente con los ángulos de Euler.
Una primera rotación hace variar el ángulo  y
consiste en un giro alrededor del eje z del espacio; una segunda
rotación hace variar el ángulo 
y consiste en un giro alrededor de la línea de nodos y,
por último, una tercera rotación hace variar el
ángulo  y
consiste en un giro alrededor del eje z' del cuerpo.
Si consideramos tres vectores unitarios 
no coplanarios en las direcciones respectivas de los ejes señalados,
la velocidad angular se podrá expresar:
De esta expresión podemos obtener las componentes
cartesianas de  en
los ejes del espacio o del cuerpo, sustituyendo en
función de  o
respectivamente.
Para el primer caso tenemos, observando la figura adjunta:
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Nota.- Puede parecer, en principio, que la proyección del
vector  sobre el
plano xy (k'xy) no forma un ángulo con
el eje "y" negativo del espacio, pero ello si es así
puesto que z' y la línea de nodos son perpendiculares entre
si en todo momento y la inclinación del eje z' es sobre
un plano perpendicular a la línea de nodos.
Continuando con el ejercicio podemos poner:
y agrupando términos:
o lo que es igual:
Para el segundo caso debemos obtener
en función de .
Para ello tenemos, según la figura anterior:
de donde se tiene:
y agrupando términos:
o lo que es igual:
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