PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Sean las rectas r y s dadas en el espacio por la intersección de las planos:
    \( x+y-z = 5 \qquad ; \qquad 2x+y-2z =2\)
Y la recta que pasa por los puntos P = ( 3,10,5) y Q = (5,12,6), determinar el ángulo \(\alpha\) que determinan al cruzarse ambas rectas.

Respuesta al ejercicio 39

Por el ejercicio anterior, sabemos que las ecuaciones parametricas de las rectas del enunciado son :
    \( \displaystyle r\equiv \left \{ \begin{matrix} x = - \lambda\\ y = 8 \\ z = 3- \lambda \end{matrix}\right. \qquad ; \qquad s \equiv \left \{ \begin{matrix} x = 3 + 2\beta\\ y = 10+ 2\beta \\ z = 5+\beta \end{matrix}\right. \)
El angulo \(\alpha\) que forman ambas rectas vendra dado por:
    \( \displaystyle \cos \alpha = \frac{\vec{v}_r\cdot \vec{v}_s}{|\vec{v}_r|\cdot| \vec{v}_s|} \)
Y teniendo en cuenta las ecuaciones paraméricas de r y s, los vectores dictores \(\vec{v}_r \; y \; \vec{v}_s\) serán igual:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} r\equiv \left \{ \begin{matrix} x = - \lambda\\ y = 8 \\ z = 3- \lambda \end{matrix}\right. \rightarrow \vec{v}_r = (-1,0,-1) \\ \\ s \equiv \left \{ \begin{matrix} x = 3 + 2\beta\\ y = 10+ 2\beta \\ z = 5+\beta \end{matrix}\right. \rightarrow \vec{v}_s = (2,2,1) \end{array}\)
Con lo que tendremos:

    \( \displaystyle\begin{array}{l} \cos \alpha = \frac{\vec{v}_r\cdot \vec{v}_s}{|\vec{v}_r|\cdot| \vec{v}_s|} = \frac{(-1,0,-1)\cdot(2,2,1)}{|(-1,0,-1)|\cdot|(2,2,1)|} = \\ \\ = \frac{-3}{\sqrt{2}\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}}=- \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\)
Lo cual nos da \( \alpha = 135º\rightarrow \beta = 45º\).
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás