PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 38

Tendremos para la recta r a partir de los vectores directores de los planos, es decir:
    \( \displaystyle r \equiv \left \{ \begin{matrix} x+y-z = 5 \rightarrow \vec{n}_1 = (1,1,-1)\\ 2x+y-2z = 2 \rightarrow \vec{n}_2 = (2,1,-2) \end{matrix}\right. \)
Y a partir de ahí :
    \( \displaystyle\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} &
    \hat{k} \\ 1 & 1& -1 \\ 2 & 1 & -2 \end{array} \right| = -\hat{i}- \hat{k} = (-1,0,-1)\)
Para escribir las ecaciones paramétricos de r debemos conocer un punto de r, para ello consiramos que todos los puntos de r cumpliran las ecuaciones de los planos dados y podemos poner.
    \( \displaystyle\left \{ \begin{matrix} x+y-z = 5
    \\ 2x+y-2z = 2 \end{matrix}\right.\)
Si en estas ecuaciones hacemos que x valga 0, tendremos:
    \( \displaystyle\left \{ \begin{matrix} y = 5 + z
    \\ y = 2 + 2z \end{matrix}\right \} \rightarrow y = 5+z = 2+2z \rightarrow z = 3 \quad y =8\)
Así pues tenemos el punto Pr = (0,8,3) y la recta r en forma paramétrica sera:
    \( \displaystyle P_r + \lambda (-1,0,-1) \rightarrow r\equiv \left \{ \begin{matrix} x = - \lambda\\ y = 8 \\ z = 3- \lambda \end{matrix}\right.\)
Las paramétricas para s:
    \( \displaystyle P = (3,10,5) \; ; \; Q = (5,12,6) \rightarrow\overrightarrow{PQ}= \vec{v}_s = (2,2,1)\)
De donde la recta s vendrá dada por :
    \( \displaystyle s \equiv \left \{ \begin{matrix} x = 3 + 2\beta\\ y = 10+ 2\beta \\ z = 5+\beta \end{matrix}\right.\)
El punto H, intersección de r y s cumplirá las ecuaciones de ambas rectas y podemos poner :
    \( \displaystyle s \equiv \left \{ \begin{matrix} -\lambda = 3 + 2\beta\\ 8 = 10+ 2\beta \\ 3-\lambda = 5+\beta \end{matrix}\right.\)
De la segunda de las ecuaciones, obtenemos \(\beta = -1\). Sustituyendo este valor en la tercera ecuación, resulta \(\lambda = -1\), y sustituyendo en r obtenemos:
    \( r\equiv \left \{ \begin{matrix} x = - \lambda = 1\\ y = 8 = 8 \\ z = 3- \lambda = 4\end{matrix}\right.\rightarrow H = (1,8,4) \)

PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás