Ejercicios de geometría
Sean r y s las rectas dadas por:
\( \displaystyle r \equiv \left \{ \begin{matrix} 2x-y = m \\
z+2y = 3 \end{matrix}\right. \; ; \; s \equiv \left \{ \begin{matrix}
x+y = 2 \\ x+2z = 3 \end{matrix}\right. \)
Calcular el valor de m para que ambas rectas se corten.
Respuesta al ejercicio 35
Calculamos las ecuaciones paramétricas de las dos rectas;
primero las ecuciones paramétricas de r:
\( \displaystyle r \equiv \left \{ \begin{matrix} x = \frac{1}{2}m
+ \frac{1}{2}y \\ z = 3- 2y \end{matrix}\right. \rightarrow
r \equiv \left \{ \begin{matrix} x = \frac{1}{2}m + \frac{1}{2}\lambda
\\ y = \lambda\\ z = 3 - 2\lambda \end{matrix}\right. \)
Y Las ecuciones paramétricas de la recta s:
\( \displaystyle s \equiv \left \{ \begin{matrix} y = 2-x \\
z = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x \end{matrix}\right. \rightarrow
s \equiv \left \{ \begin{matrix} x =\lambda \\ y = 2-\lambda\\
z = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\lambda \end{matrix}\right. \)
Si las rectas r y s se cortan, es que ambas tienen un punto en
común, por lo tanto igualando las coordenadas:
\( \displaystyle \left \{ \begin{matrix} \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}m
= \lambda\\\lambda =-\lambda + 2\rightarrow \lambda = 1 \\3
- 2\lambda = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\lambda \end{matrix}\right.
\)
Si s ustituimos el valor de \(\lambda = 1\) en la primera de las
igualdades, obtenemos el valor de m para que las rectas r y s
se cortan:
\( \displaystyle \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}m = \lambda \rightarrow
\frac{1}{2} + \frac{1}{2}m = 1 \rightarrow m = 1 \)