Ejercicios de geometría

Sean r y s las rectas dadas por:

\( \displaystyle r \equiv \left \{ \begin{matrix} 2x-y = m \\ z+2y = 3 \end{matrix}\right. \; ; \; s \equiv \left \{ \begin{matrix} x+y = 2 \\ x+2z = 3 \end{matrix}\right. \)

Calcular el valor de m para que ambas rectas se corten.

Respuesta al ejercicio 35

Calculamos las ecuaciones paramétricas de las dos rectas; primero las ecuciones paramétricas de r:

\( \displaystyle r \equiv \left \{ \begin{matrix} x = \frac{1}{2}m + \frac{1}{2}y \\ z = 3- 2y \end{matrix}\right. \rightarrow r \equiv \left \{ \begin{matrix} x = \frac{1}{2}m + \frac{1}{2}\lambda \\ y = \lambda\\ z = 3 - 2\lambda \end{matrix}\right. \)

Y Las ecuciones paramétricas de la recta s:

\( \displaystyle s \equiv \left \{ \begin{matrix} y = 2-x \\ z = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x \end{matrix}\right. \rightarrow s \equiv \left \{ \begin{matrix} x =\lambda \\ y = 2-\lambda\\ z = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\lambda \end{matrix}\right. \)

Si las rectas r y s se cortan, es que ambas tienen un punto en común, por lo tanto igualando las coordenadas:

\( \displaystyle \left \{ \begin{matrix} \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}m = \lambda\\\lambda =-\lambda + 2\rightarrow \lambda = 1 \\3 - 2\lambda = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\lambda \end{matrix}\right. \)

Si s ustituimos el valor de \(\lambda = 1\) en la primera de las igualdades, obtenemos el valor de m para que las rectas r y s se cortan:

\( \displaystyle \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}m = \lambda \rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{2}m = 1 \rightarrow m = 1 \)