PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Consideremos el triangulo que tiene por vertices los puntos A = (1,1,2) B = (1,0,-1) y C = (1,-3,3), razonar si el triángulo es rectángulo.
Calcular la longitud del lado AC.

Respuesta al ejercicio 33

Para el triangulo sea rectángulo dos de sus lados deberán formar ángulo recto y esto se averigua si algún producto escalar formado entre ellos es distinto de cero. Hacemos entonces:
    \( \overrightarrow{AC} =(1,-3,2) - (1,1,2) = (0,-4,0)\)
Y de forma análoga:
    \( \begin{array}{l} \overrightarrow{AB}= (1,0,-1) - (1,1,2) = (0,-1,-3) \\ \\ \overrightarrow{BC}= (1,-3,2) - (1,0,-1) = (0,-3,3) \end{array}\)
Por lo que tenemos:
    \( \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB} \rightarrow (0,-4,0) \cdot(0,-1,-3)= (0,4,0)\neq 0\)
Y de igual forma:
    \( \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC} \rightarrow (0,-4,0) \cdot(0,-3,3)= (0,12,0)\neq 0\)
    \( \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC} \rightarrow (0,-1,-3) \cdot(0,-3,3)= (0,3,-9)\neq 0\)
Y puesto que ninguno de los productos escalares es nulo, no hay nigún ángulo recto y, por tanto, el triangulo no es rectángulo.
La longitud del lado AC vendrá dada, simplemente, por el modulo del vector \( \overrightarrow{AC} = (0,-4,0)\) es decir :
    \( |\overrightarrow{AC}|= \sqrt{(-4)^2} = 4\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás