PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 28

En primer lugar obtenemos las ecuaciones paramétricas de r:

    \( \displaystyle r \equiv \frac{x-5}{-2}=y= \frac{z-6}{m} = \lambda \quad \left \{ \begin{matrix} x =5 - 2\lambda \\y = \lambda \\ z = 6 + m\lambda \end{matrix}\right. \)
Y sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación del plano:

    \( \pi \equiv 2x + y - z + 2 = 0 \rightarrow 2(5-2\lambda ) + \lambda - (6+m\lambda ) + 2 = 0\)
De donde resultará:

    \( \displaystyle(m+3)\lambda - 6 = 0 \rightarrow \lambda = \frac{6}{m+3} \)
Y podemos decir que cuando m es distinto de -3, el plano y la recta se cortan en un punto y cuando m es igual a -3, el plano y la recta son paralelos.

Si m = -3, las ecuaciones paramétricas de la recta son:

    \( \displaystyle r \equiv \frac{x-5}{-2}=y= \frac{z-6}{-3} = \lambda \quad \left \{ \begin{matrix} x =5 - 2\lambda \\y = \lambda \\ z = 6 -3\lambda \end{matrix}\right. \)
Para calcular en este caso el plano π’ perpendicular a π que contenga a r, consideramos las relaciones siguientes entre los vectores directores de los distintos elementos:

    \( \left \{ \begin{matrix} r \subset \pi' \rightarrow \vec{v}_r \perp \vec{n}_{\pi'} \\ \\ \pi\perp \pi' \rightarrow \vec{n}_\pi \perp \vec{n}_{\pi'} \end{matrix}\right. \)
Y podemos obtener el vector director de π’ como producto vectorial de los vectores directores de r y de π :

    \(\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_r\times \vec{n}_{\pi} \rightarrow \vec{n}_{\pi'} = (-2,1,-3)\times (2,1,-1) = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i}& \hat{j}& \hat{k} \\ -2 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right| \)
Haciendo operaciones resulta:

    \(\vec{n}_{\pi'} = (2,-8,-4) \rightarrow \pi' \equiv 2x - 8y-4z + D = 0 \)
Y como la recta r está contenida en π’ , cualquier punto de ella cumplirá su ecuación, es decir:

    \( r \subset \pi' \rightarrow P_r \equiv (5,0,6) \in \pi' \rightarrow 10 -24 + D =0 \rightarrow D = 14 \)
Por lo que, finalmente:

    \( \pi' \equiv 2x - 8y - 4z + 14 = 0 \rightarrow \pi' \equiv x - 4y - 2z + 7 = 0 \)
Y la ecuación obtenida corresponde a la del plano perpendicular a π y contiene a la recta r.

Si π” es el plano paralelo a π que contiene a la recta r, tendrá el mismo vector director que π y podremos escribir:

    \( \pi \parallel \pi" \rightarrow \vec{n}_\pi = \vec{n}_{\pi"} = (2,1,-1)\rightarrow \pi" \equiv 2x +y - z + D = 0 \)
Y como la recta r está contenida en el plano π” :

    \( r \subset \pi\rightarrow P_r \equiv (5,0,6) \in \pi \rightarrow 10-6 + D = 0 \rightarrow D = -4 \)
Y la ecuación del plano buscado será:

    \( \pi" \equiv 2x + y -z - 4 = 0 \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás