PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 27

Calculamos la ecuación del plano π’ que es perpendicular a la recta dada y para por el punto P; para ello obtenemos su vector director:
    \( r \equiv \left \{ \begin{matrix} x+y-z-3 = 0 \rightarrow \vec{n}_{\pi_1} = (1,1,-1) \\ \\ x+2z+1= 0 \rightarrow \vec{n}_{\pi_2} = (1,0,2) \end{matrix}\right.\)
Y de ese modo:
    \( \vec{n}_{\pi'} = \vec{n}_{\pi_1}\times \vec{n}_{\pi_2} \rightarrow \vec{n}_{\pi'} = (1,1,-1)\times (1,0,2) = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i}& \hat{j}& \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right| =(2,-3,-1)\)
Con lo cual:
    \( \pi' \equiv 2x-3y-z+D = 0 \)
Como el punto P pertenece al plano verificará su ecuación y tendremos:

    \( P\in \pi' \rightarrow \equiv 2\times 3 -3\times 2- 1\times 0 +D = 0 \rightarrow D = 0 \)
Y con ello:

    \( \pi' \equiv 2x - 3y - z = 0\)
Calculamos ahora el punto M, intersección del plano π’ con la recta r; para ello escribimos las ecuaciones paramétricas de r

    \( r \equiv \left \{ \begin{matrix} x+y-z-3 = 0 \\ \\ x+2z+1= 0 \end{matrix}\right. \quad \left \{ \begin{matrix} z = \lambda \\ x = -1 - 2\lambda \\ y = 4 + 3\lambda \end{matrix}\right. \)
Y sustituyendo estas expresiones en la ecuación del plano:

    \( 2(-1- 2\lambda) - 3(4+3\lambda) - (\lambda)= 0 \rightarrow \lambda = -1\)
Con lo cual, sustituyendo este valor de λ en r, obtenemos para el punto M las coordenadas (1, 1, -1)

Puesto que M es el punto medio del segmento PQ, haciendo Q = (x, y, z), tendremos:

    \( \displaystyle1 = \frac{3+x}{2} \; ; \; 1 = \frac{2+y}{2} \; ; \; -1 = \frac{z}{2}\rightarrow = (x,y,z) = (-1,0,-2) \)
Y el punto calculado será el simétrico de P respecto de la recta r.
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás