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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Considerado el punto P(3,2,0) y la recta r dada por las ecuaciones:
    \(r \equiv \left\{ \begin{array}{c} x+y-z + 3 = 0 \\ \\x + 2z+1 = 0 \end{array}\right.\)
Hallar la ecuación del plano que contiene el punto P y a la recta r, y determinar las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto a la recta del enunciado.

Respuesta al ejercicio 22

Los vectores directores de las dos rectas del enunciado son:

    \( \displaystyle P(3,2,0)\; ; \; r \equiv\left\{ \begin{array}{c} x+y-z + 3 = 0 \rightarrow \overrightarrow{n}_1 = (1,1,-1)\\ \\x + 2z+1 = 0 \rightarrow \overrightarrow{n}_2 = (1,0, 2) \end{array}\right. \)
Además tenemos que P no pertenece a r porque no cumple sus ecuaciones.
El vector director de la recta se puede determinar mediante el producto vectorial de los vectores directores de los planos:
    \( \displaystyle \overrightarrow{v}_r = (1,1,-1)\times (1,2,0) = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i}& \hat{j}& \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right| =2\hat{i}- 3\hat{j} - \hat{k} = (2,-3, -1) \)
Ahora bien, un punto de r vendrá dado,por ejemplo, tomando valores en la primera de las ecuaciones\(P_r =( -1,4,0)\), de ese modo el vector \(\overrightarrow{P_r P} = (4,-2,0)\) nos servirá para escribir :
    \( \displaystyle \pi \equiv \left| \begin{array}{ccc} x-3 & y-2 & z \\ 2 & -3 & -1 \\ 4 & -2 & 0 \end{array}\right| = 0 \rightarrow \pi \equiv x + 2y - 4z - 7 = 0\)
Y ese será la ecuación del plano, que contiene al punto P y a la recta r.
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás