Ejercicios de geometría

Determinar las coordenadas del punto simétrico del (-3,1-7) respecto de la recta:

\( \displaystyle \frac{x+1}{1}= \frac{y-3}{2} = \frac{z+1}{2}\)

Respuesta al ejercicio 21

La ecuación general del plano es:

\(Ax + By + Cz + D = 0\)

Vamos a obtener la ecuación de un plano que sea perpendicular a la recta y contenga al punto (-3,1,-7). Dicho plano también contendrá a su simétrico según la recta. Como el referido punto pertenece al plano, cumplirá la ecuación solicitada y además, por ser perpendicular a la recta, tendrá el mismo vector director; por lo tanto:

\( x + 2y + 2z + D = 0 \Rightarrow -3 + 2 - 14 + D = 0 \Rightarrow D = 15\)

La ecuación del plano será entonces:

\( x + 2y + 2z + 15 = 0\)

Nos interesa ahora encontrar el punto de corte de la recta con el plano; para ello resolvemos el sistema:

\( \displaystyle\frac{x+1}{1}= \frac{y- 3}{2}= \frac{z+1}{2} \left\{ \begin{array}{c} x = \lambda - 1\\y = 2 \lambda + 3 \\ z = 2\lambda - 1 \end{array}\right. \)

Sustituyendo el valor de las coordenadas en la ecuación del plano:

\( (\lambda - 1) + 2(2\lambda + 3) + 2( 2\lambda - 1) + 15 = 0 \Rightarrow 9 \lambda = - 18 \Rightarrow \lambda = - 2\)

Poniendo el valor obtenido para el parámetro en las ecuaciones de las coordenadas:

\( \left\{ \begin{array}{c} x = \lambda - 1 \rightarrow x = - 3\\ y = 2 \lambda + 3 \Rightarrow y = -1 \\z = 2\lambda-1\rightarrow z = -5 \end{array}\right. \)

El punto (-3, -1, -5) será el punto medio entre (-3, 1, -7) y su simétrico según la recta dada:

\( \displaystyle-3 = \frac{-3+x}{2} x = -3 \; ; \; -1 = \frac{1+y}{2} y = -3 \; ; \;-5 = \frac{-7+z}{2} z = -3 \)

Por lo tanto, las coordenadas del punto buscado son (-3, -3, -3)