PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

ver el enunciado en

Ejercicios resueltos de geometría

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas resueltos

 

Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 20

El ejercicio puede resolverse hallando previamente la ecuación del plano que sea perpendicular al plano dado y contenga a la recta del enunciado, de forma que la recta de corte de los dos planos sea la proyección de la recta inicial.
La recta del enunciado pertenece a un haz de planos cuya ecuación podemos obtener a partir de:
    \( \displaystyle\frac{x+1}{3}= \frac{y}{1}= \frac{z-1}{2} \left\{ \begin{array}{c} x+1=3y\rightarrow x - 3y + 1 = 0 \\ \\z-1=2y \rightarrow 2y -z+1 = 0 \end{array}\right. \)
Y la ecuación del haz de planos estará dada por:

    \( (x-3y + 1) + \lambda ( 2y -z + 1) = x + (2\lambda - 3)y + \lambda z + (1 + \lambda) = 0\)
Como el plano que debemos obtener ha de ser perpendicular al dado en el enunciado, se deberá cumplir la condición de perpendicularidad entre los coeficientes de los mismos:

    \( A\cdot A' + B\cdot B' + C\cdot C' = 0 \rightarrow 2\times 1 + 1 \times (2 \lambda - 3) + 4\times \lambda = 0\)
Despejando el valor de \( \lambda = 1/6\) y sustituyendo en la ecuación del haz

    \( \displaystyle (x-3y + 1)+ \frac{1}{6}(2y-z+1) = 0 \rightarrow 3x - 8y + 3z + 6 = 0 \)
De modo que podemos escribir la ecuación de la recta como corte de los planos

    \( \begin{array}{c}3x - 8y - 3z + 6 = 0 \\ \\2x + y - 4z + 4 = 0 \end{array}\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás