PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 19

distancia de un punto a una recta

En la figura adjunta se tiene:

    \( d = |P_oP|\sin \alpha\)
Por otro lado, el producto vectorial del vector director de la recta con el vector P0P, se expresa:
    \( \displaystyle v\wedge P_oP = |v|\cdot|P_oP|\sin \alpha = |v|\cdot d \Rightarrow d = \frac{|v\wedge P_oP|}{|v|}\)
Las coordenadas del vector director de la recta vienen dadas por los denominadores de la ecuación continua, es decir, v(3, 1, 2).
Las coordenadas de un punto de la recta vienen dadas por los términos conocidos del numerador, a saber, P0 = (1, 0, 1).
El vector P0P tendrá, entonces, de coordenadas:
    \( P_oP = (x-x_o, y-y_o,z-z_o) = (2,2,2)\)
El módulo del producto vectorial será:
    \( \displaystyle v\wedge P_oP = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{array} \right| = 2\hat{i}- 4\hat{j} + 2\hat{k}\Rightarrow |v\wedge P_oP| = 2 \sqrt{3} \)
El módulo del vector director será:
    \( \displaystyle |v| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} =2 \sqrt{3} \)
Y, por lo tanto, la distancia pedida vendrá dada por:
    \( \displaystyle d = \frac{|v\wedge P_oP|}{|v|} = \frac{2 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = 1 \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás