PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 16

Conocido un vector normal al plano buscado, podemos plantear:

    \( \vec{v} \perp \alpha \rightarrow \alpha \equiv x - 2y - z + D = 0\)
Pero como el punto A pertenece al plano:
    \( A \in \alpha \rightarrow -1 - 2(-1) + D = 0 \rightarrow D= 0\)
Y la ecuación del plano buscado será:
    \( \alpha\equiv x - 2y - z = 0\)
Tenemos entonces los planos:
    \( \begin{matrix} \alpha \equiv x - 2y - z = 0 \\ \\ \beta \equiv z - 1 = 0 \end{matrix}\)
Cuyos vectores directores son, respectivamente:
    \( \vec{n}_\alpha = (-1,-2,-1) \; ; \; \vec{n}_\beta = (0,0,1)\)
Para calcular la recta intersección de estos dos planos, determinamos primero su vector director. Como la recta pertenece a cada uno de los planos, su vector director será simultáneamente perpendicular a los respectivos vectores directores de dichos planos, es decir, vendrá dado por su producto vectorial:
    \(\vec{v}_r = (-1,-2,-1)\times (0,0,1) = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right| = (-2,-1,0)\)
Y las ecuaciones paramétricas de la recta pueden escribirse, en principio, en la forma:

    \( \displaystyle r \equiv \left \{ \begin{matrix} x = a - 2\lambda \\ y =b - \lambda \\ z = c \end{matrix}\right.\)
La terna (a, b, c) es un punto cualquiera de dicha recta. Teniendo en cuenta que dicho punto debe pertenecer al mismo tiempo a los dos planos, podemos tomar:

    \( \left. \begin{matrix} \alpha \equiv x-2y-z = 0 \\ \\ \beta \equiv z-1 =0 \rightarrow z =1 \end{matrix}\right\} x-2y-1 =0\rightarrow (a,b,c) = (3,1,1) \)
Y con ello:

    \( \displaystyle r \equiv \left \{ \begin{matrix} x = 3 - 2\lambda \\ y =1 - \lambda \\ z = 1 \end{matrix}\right.\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás