PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Calcular el área de la proyección ortogonal del triángulo de vértices A = (7, 0, 4) , B = (2, 1, 1) y C = (5, 2, 2) sobre el plano 3•x – 5•y + z – 2 = 0

Respuesta al ejercicio 13

Sabemos que el producto vectorial de dos vectores expresa en módulo el doble del área del triángulo que definen, por lo tanto, si consideramos dos de los lados del triángulo como vectores, tendremos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left. \begin{array}{cc} \overrightarrow{AB} = A - B = (7,0,4)- (2,1,1) = (5,-1,3) \\\overrightarrow{AC}= A - C = (7,0,4)- (5,2,2) = (2,-2,2) \end{array} \right\}\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right| = \frac{1}{2}\left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & -1 & 3 \\ 2 & -2 & 2 \\ \end{array} \right| = \frac{1}{2}\bigg| 4\hat{i}- 4\hat{j}+ 8\hat{k} \bigg| = 2\sqrt{6}\\ \end{array} \)
Nosotros debemos calcular el área del triangulo proyectado.
En la figura se tiene:

    \( \displaystyle S' = S\cdot \cos \alpha \) proyección de S
Siendo alfa el ángulo formado por los dos planos.
Calculamos entonces el vector director del plano en el que está el triángulo. Conociendo tres puntos, se tiene:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left| \begin{array}{cccc} x & y & z & 1 \\ 7& 0 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\5 & 2 & 2 & 1 \end{array} \right| = 0 \Rightarrow A = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ \end{array} \right| = 4 \\ \\ \\ B =- \left| \begin{array}{ccc} 7 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \\ \end{array} \right| = -4\; ; \; C = \left| \begin{array}{ccc} 7 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \\ \end{array} \right| = -8 \end{array} \)
El vector director del plano que contiene al triángulo será V = (4, -4, -8) = (1, -1, -2) y el vector director del plano que nos han dado es (3, -5, 1); el ángulo entre ambos será, entonces:

    \( \displaystyle \cos \alpha = \frac{A\cdot A' + B \cdot B' + C \cdot C'}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\sqrt{A'^2 + B'^2 + C'^2}} =
    \)
    \( \displaystyle =\frac{3+5-2}{\sqrt{1^2+ (-1)^2 + 2^2}\cdot \sqrt{3^2}+ (-5)^2 + 1^2} = \frac{6}{\sqrt{6}\sqrt{35}}
    \)
Y el área pedida será:

    \( \displaystyle S' = S\cdot \cos\alpha = 2\sqrt{6}\times \frac{6}{\sqrt{6}\sqrt{35}}= \frac{12}{\sqrt{35}} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás