PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Hallar un punto sobre el eje OY que equidiste de los planos:
2•x + 3•y + 6•z – 6 = 0 ; 6•x + 9•y – 72•z + 73 = 0
Respuesta al ejercicio 12

Si el punto buscado se encuentra en el eje OY tendrá de coordenadas (0, y, 0). Por otro lado, si equidista de los referidos planos, habrá la misma distancia en ambos casos y para resolver el problema podemos aplicar la expresión general de la distancia de un punto a un plano, que vamos a obtener.

distancia de un punto a un plano

En la figura se tiene:

    \( d = |P_0P|\cos \alpha \)
    \( V\cdot P_0P = |V||P_0P|\cos \alpha = |V|d \)
Con lo que podemos poner:

    \( \displaystyle d = \frac{V\cdot P_0P}{|V|} = \frac{(A,B,C)(x-x_o,y-y_o,z-z_o)}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \)
    \( \displaystyle = \frac{A(x-x_o) + B(y-y_o) + C(z-z_o)}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \)
Si hacemos –A•x – B•y – C•z = D tenemos finalmente:

    \( \displaystyle d= \frac{A\cdot x_o + B\cdot y_o + C\cdot z_o + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \)
En este problema concreto tendremos:

    \( \displaystyle \frac{2\cdot 0 + 3\cdot y + 6\cdot 0 - 6}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}} = \frac{8\cdot 0 + 9\cdot y + 72\cdot 0 + 73}{\sqrt{8^2 + 9^2 + 72^2}}\Rightarrow y = \frac{73}{12} \)
Y las coordenadas del punto buscado serán (0, 73/12, 0)
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás