Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 9

Vamos a resolver el problema tomando tres puntos del plano Z = 0 y determinando después los simétricos respecto al plano pedido, para después plantear la ecuación que nos interesa. Los tres puntos del plano Z = 0 que vamos a tomar son:

a = (1, 0, 0) ; b = (1, 1, 0) ; c = (0, 1, 0)

La recta que una cada punto con su simétrico será perpendicular al plano de simetría y, puesto que una recta y plano perpendiculares tienen el mismo vector director, podemos plantear la siguiente ecuación de la recta que contiene al punto (1, 0, 0):



Esta recta tendrá un punto común con el plano x + 3•y – 2•z = 0, por lo que tenemos el sistema:



Sustituyendo el valor de lambda en las coordenadas del punto, tenemos:



Para las rectas que contienen a los puntos (1, 1, 0) y (0, 1, 0) se procede de modo análogo al visto, obteniéndose las ecuaciones:



Siendo los respectivos puntos d ecorte con el plano x + 3•y – 2•z = 0



Estos tres puntos hallados son los puntos medios de los del plano z = 0 respecto al otro plano; por lo tanto, las coordenadas de los puntos simétricos podemos determinarlas aplicando la fórmula general:



Las coordenadas del primer punto simétrico serán:



Haciendo de igual forma con los otros dos puntos, se obtienen como coordenadas de los simétricos:



Conociendo tres puntos del plano simétrico podemos obtener la ecuación del mismo:



Desarrollando el determinante, nos queda como ecuación del plano: 2•x + 6•y + 3•z = 0

Este problema puede resolverse también por otro método. Sabemos que los tres planos, el plano z = 0, el plano de simetría y el plano simétrico, se cortan en una recta común; por lo tanto, los tres planos forman parte de un haz. Sabiendo que las ecuaciones de dos de los planos del haz son:

z = 0 ; x + 3•y – 2•z = 0

La ecuación del haz será:



El plano z = 0 y su simétrico tendrán el mismo ángulo respecto del plano de simetría, por lo tanto, podemos hacer:



Es decir, se cumplirá:



Simplificando nos queda: λ = 7/2 y sustituyendo en la ecuación del haz de planos:



Que, naturalmente, es el mismo resultado que en el método anterior.