PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 9

Vamos a resolver el problema tomando tres puntos del plano Z = 0 y determinando después los simétricos respecto al plano pedido, para después plantear la ecuación que nos interesa. Los tres puntos del plano Z = 0 que vamos a tomar son:

a = (1, 0, 0) ; b = (1, 1, 0) ; c = (0, 1, 0)

La recta que una cada punto con su simétrico será perpendicular al plano de simetría y, puesto que una recta y plano perpendiculares tienen el mismo vector director, podemos plantear la siguiente ecuación de la recta que contiene al punto (1, 0, 0):
    \( \displaystyle \frac{x-1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-2} = \lambda \)
Esta recta tendrá un punto común con el plano x + 3•y – 2•z = 0, por lo que tenemos el sistema:
    \( \displaystyle \begin{array}{ccc} x = \lambda+1 \; ; \; y= 3\lambda \; ; \; z 0 -2\lambda \\ \\ x + 3y-2z \Rightarrow (\lambda + 1) + 3(3\lambda) - 2(-2\lambda) = 0 \end{array}\Rightarrow \lambda = - \frac{1}{14} \)
Sustituyendo el valor de lambda en las coordenadas del punto, tenemos:
    \( \displaystyle x = \frac{13}{14}\; ; \; y =- \frac{3}{14}\; ; \;z = - \frac{3}{14}\Rightarrow \textrm{ punto 1} = \left( \frac{13}{14},- \frac{3}{14},\frac{2}{14} \right) \)
Para las rectas que contienen a los puntos (1, 1, 0) y (0, 1, 0) se procede de modo análogo al visto, obteniéndose las ecuaciones:
    \( \displaystyle \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{3} = \frac{z}{-2}\; ; \;\frac{x}{1} = \frac{y-1}{3} = \frac{z}{-2} \)
Siendo los respectivos puntos d ecorte con el plano x + 3•y – 2•z = 0
    \( \displaystyle \textrm{punto 2} = \left(\frac{5}{7}, - \frac{1}{7}, \frac{4}{7}\right)\; ; \;\textrm{ punto 3}=\left(- \frac{3}{14}, -\frac{5}{14},\frac{6}{14} \right) \)
Estos tres puntos hallados son los puntos medios de los del plano z = 0 respecto al otro plano; por lo tanto, las coordenadas de los puntos simétricos podemos determinarlas aplicando la fórmula general:
    \( \displaystyle x = \frac{x' + x"}{2}\; ; \;y = \frac{y' + y"}{2}\; ; \;z = \frac{z' + z"}{2} \)
Las coordenadas del primer punto simétrico serán:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{13}{14} = \frac{1 + x}{2}\Rightarrow x = \frac{6}{7}\; ; \;-\frac{3}{14} = \frac{0 + y}{2}\Rightarrow \\  \\ \Rightarrow y = -\frac{3}{7}\; ; \;\frac{2}{14} = \frac{0 + z}{2}\Rightarrow z = \frac{2}{7} \end{array} \)
Haciendo de igual forma con los otros dos puntos, se obtienen como coordenadas de los simétricos:

    \( \displaystyle \textrm{simét punto 2} = \left(\frac{3}{7}, - \frac{5}{7}, \frac{8}{7}\right)\; ; \;\textrm{ simét punto 3}\left(- \frac{3}{7}, -\frac{2}{7},\frac{6}{7} \right) \)
Conociendo tres puntos del plano simétrico podemos obtener la ecuación del mismo:

    \( \displaystyle \left| \begin{array}{cccc} x & y & z & 1 \\ \frac{6}{7} & -\frac{3}{7}& \frac{2}{7} & 1 \\ \frac{3}{7} & -\frac{5}{7}& \frac{8}{7} & 1 \\ -\frac{3}{7} & -\frac{2}{7}& \frac{6}{7} & 1\end{array} \right| = 0 \)
Desarrollando el determinante, nos queda como ecuación del plano: 2•x + 6•y + 3•z = 0

Este problema puede resolverse también por otro método. Sabemos que los tres planos, el plano z = 0, el plano de simetría y el plano simétrico, se cortan en una recta común; por lo tanto, los tres planos forman parte de un haz. Sabiendo que las ecuaciones de dos de los planos del haz son:
z = 0 ; x + 3•y – 2•z = 0
La ecuación del haz será:

    \( (x+3y - 2z) + \lambda z = x + 3y + (\lambda - 2)z = 0 \)
El plano z = 0 y su simétrico tendrán el mismo ángulo respecto del plano de simetría, por lo tanto, podemos hacer:

    \( \displaystyle \cos \alpha = \frac{A\cdot A' + B \cdot B' + C \cdot C'}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\sqrt{A'^2 + B'^2 + C'^2}} = \cos \alpha\prime \)
Es decir, se cumplirá:

    \( \displaystyle\frac{-2}{\sqrt{1 + 9 + 4}} = \frac{1+9+(-2)(\lambda - 2)}{\sqrt{1 + 9 + 4}\cdot \sqrt{1+9+ (\lambda - 2)^2} } \)
Simplificando nos queda: λ = 7/2 y sustituyendo en la ecuación del haz de planos:

    \( \displaystyle x + 3y + \left(\frac{7}{2}- 2\right)z = 0 \Rightarrow 2x + 6y + 3z = 0 \)
Que, naturalmente, es el mismo resultado que en el método anterior.
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás