PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 8

Como el plano buscado limita con los planos coordenados un tetraedro, tendrá puntos de corte con ellos y podemos ponerlo en forma segmentaria:

    \( \displaystyle \frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c} = 1 \)
Siendo a, b y c los valores no nulos de las coordenadas de los puntos de corte. Quitando denominadores tenemos:
bc•x + ac•y + ab•z = abc
Puesta la ecuación del plano en forma general, podemos plantear tres condiciones:
1ª.- El plano es paralelo a la primera recta dada en el enunciado. La suma de los productos de los vectores debe ser nula:
A•a + B•b + C•c = 0 ?→ 3•bc + 4•ac – 3•ab = 0
2ª.- El plano es paralelo a la segunda recta. Se tiene de igual forma:
-2•bc + 2•ac + 2•ab = 0 → - bc + ac + 2•ab = 0
3ª.- Forma un tetraedro de volumen unidad en su corte con los ejes coordenados:

    \( \displaystyle1 = \frac{1}{6} \left| \begin{array}{cccc} a & 0 & 0 & 1 \\ 0 & b & 0 & 1 \\ 0 & 0 & c & 1 \\0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = \frac{1}{6}abc\Rightarrow abc = 6 \)
Tenemos así el sistema:
3•bc + 4•ac – 3•ab = 0 ; - bc + ac + 2•ab = 0 ; a•b•c – 6 = 0
Que resuelto nos da:

    \( \displaystyle a =- \frac{126}{121}\; ; \; b = - \frac{154}{3} \; ; \; c = \frac{198}{49} \)
Con lo que podemos poner la ecuación del plano:

    \( \displaystyle \frac{x}{-126/121}+ \frac{y}{-154/3} + \frac{z}{198/49} = 1 \)
Que es la solución pedida.
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás