PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 7

Sabemos que el volumen de un tetraedro se puede obtener por el determinante de cuarto orden en el que se tienen las coordenadas de los vértices, completadas con el vector columna (1, 1, 1, 1). La sexta parte del valor del determinante es igual al volumen del tetraedro. Podemos poner así:

    \( \displaystyle 1 = \frac{1}{6} \left| \begin{array}{cccc} x & y & z & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\0 & -1 & 3 & 1 \end{array} \right| \)
Desarrollando el determinante por los adjuntos de la segunda fila, tenemos:

    \( \displaystyle 1 = \frac{1}{6}(2z + x - 2y)\Rightarrow x - 2y -2z - 6 = 0 \)
Es decir, el punto buscado estará en el plano obtenido. Como también tiene que pertenecer al plano x + y + z – 1 = 0, el lugar geométrico serán aquellos puntos que cumplan las dos condiciones, es decir, una recta :
x – 2•y – 2•z – 6 = 0 ; x + y + z – 1 = 0
Vamos a escribir la ecuación de dicha recta en forma continua o cartesiana. Para ello debemos determinar su vector director. El vector director de una recta se puede determinar a partir del producto vectorial de los vectores directores de los planos:

    \( \displaystyle\left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right| = -3\hat{j}+ 3\hat{k}\Rightarrow v = (0,-3,3)\equiv (0,-1,1) \)
Para determinar un punto de la recta, damos valores a una de las variables de las ecuaciones que la definen. Si damos a z el valor 0, obtenemos x = 8/3 ; y = - 5/3, y la ecuación de la recta queda en la forma:

    \( \displaystyle \frac{x - (8/3)}{0} = \frac{y + (5/3)}{-1} = \frac{z-0}{1} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás