PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

ver el enunciado en

Ejercicios resueltos de geometría

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas resueltos

 

Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 6

La ecuación general del plano es:
A•x + B3y + C•z + D = 0
Vamos a obtener la ecuación de un plano que sea perpendicular a la recta y contenga al punto dado; dicho plano también contendrá a su simétrico según la recta. Como el referido punto pertenece al plano, cumplirá la ecuación pedida y, además, por ser perpendicular a la recta, tendrá el mismo vector director que esta; por lo tanto:
x + 2•y + 2•z + D = 0 → - 3 + 2 – 14 + D = 0 →D = 15
y la ecuación del plano será entonces:
x + 2•y + 2•z + 15 = 0
Nos interesa ahora encontrar el punto de corte de la recta con el plano, para lo cual resolvemos el sistema:

    \( \displaystyle\begin{array}{cc} \frac{x+1}{1}= \frac{y-3}{2}= \frac{z+1}{2}= \lambda\\ \\ x+2y+2z+15 =0 \end{array} \left\{ \begin{array}{ccc} x = \lambda-1 \\ y = 2\lambda +3 \\ z = 2\lambda - 1 \\ \end{array} \right. \)
Y sustituyendo el valor de las coordenadas en la ecuación del plano:

    \( (\lambda - 1)+ 2(2\lambda + 3)+ 2(2\lambda - 1) + 15 = 0 \Rightarrow \lambda = - 2 \)
Poniendo el valor obtenido en las ecuaciones de las coordenadas:
x = (-2) – 1 = -3 ; y = 2(-2) + 3 = -1 ; z = 2(-2) – 1 = - 5
El punto (-3, -1, -5) será el punto medio entre (- 3, 1, - 7) y su simétrico según la recta dada:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} -3 = \frac{-3+x}{2}\Rightarrow x = -3 \; ; \;-1 = \frac{1+y}{2}\Rightarrow \\  \\ \Rightarrow y = -3 \; ; \;-5 = \frac{-7+z}{2}\Rightarrow z = -3 \end{array} \)
Por lo tanto, las coordenadas del punto buscado son (-3, -3, -3)
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás