PROBLEMAS RESUELTOS
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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Hallar la proyección ortogonal sobre el plano x – 3•y + z – 2 = 0, de la recta:
    \( \displaystyle \frac{x-1}{2}= \frac{y}{-3} = \frac{z+1}{4} \)
Respuesta al ejercicio 5

Podemos resolver el problema obteniendo la ecuación del plano que contenga a la recta y sea perpendicular al plano pedido, de ese modo, la recta de corte de los dos planos será la proyección de la recta dada. Determinamos la ecuación del haz de planos que contienen a la recta del enunciado.

    \( \displaystyle \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-3}= \frac{z+1}{4}\left \{ \begin{matrix}- 3x+3 = 2y\Leftarrow 3x+2y-3 =0 \\ -3z-3 = 4y \Rightarrow 4y+3z+3 =0 \end{matrix}\right. \)
La ecuación del haz de planos será:

    \( (3x+2y-3) + \lambda(4y + 3z + 3) = 3x + (2 + 4\lambda )y + 3\lambda z = 0\)
Como debemos tomar un plano perpendicular al dado, se deberá cumplir la condición de perpendicularidad:

    \( \displaystyle A A' + B B' + C C' = 0 \Rightarrow 1\cdot 3 + (-3)(2+ 4\lambda )+ 1\cdot 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{3} \)
Y sustituyendo el valor de lambda en la ecuación del haz:

    \( \displaystyle 3x + 2y - 3 + \frac{1}{3}(4y+3z+3) = 0 \Rightarrow 9x + 10y + 3z - 6 = 0 \)
Podemos así poner la ecuación de la recta como corte de dos planos:
9•x + 10•y + 3•z – 6 = 0 ; x – 3•y + z – 2 = 0
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás