Ejercicios de geometríaDeterminar la distancia desde el punto P(1, 2, 3) a la recta:
\( \displaystyle \frac{x-1}{1}= \frac{y}{1} = \frac{z-1}{2}
\)
Respuesta al ejercicio 4
En la figura adjunta se tiene:
\( d = |P_oP|\sin \alpha \)
Por otro lado, el producto vectorial del vector director de la
recta con el vector P0P se expresa:
\( \displaystyle v\wedge P_oP = |v|\cdot|P_oP|\sin \alpha =
|v|\cdot d \Rightarrow d = \frac{|v\wedge P_oP|}{|v|}\)
Las coordenadas del vector director de la recta viene dadas por
los denominadores de la ecuación continua v(1, 1, 2). Las
coordenadas de un punto de la recta vienen dadas por los términos
conocidos del numerador, es decir P0 = (1, 0, 1).
El vector P0P tendrá entonces de coordenadas
(x-x0, y-y0, z-z0) = (0, 2, 2).
El módulo del producto vectorial será entonces:
\( \displaystyle v\wedge P_oP = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i}
& \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ \end{array}
\right| = 2\hat{i}- 2\hat{j} + 2\hat{k}\Rightarrow |v\wedge
P_oP| = \sqrt{3·2^2} \)
El módulo del vector director valdrá:
\( \displaystyle |v| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6} \)
Con lo que, finalmente:
\( \displaystyle d = \frac{|v\wedge P_oP|}{|v|} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{6}}
= \sqrt{2} \)
PROBLEMAS
RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA
DIFERENCIAL |
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