Ejercicios de geometría

Determinar la distancia desde el punto P(1, 2, 3) a la recta:

\( \displaystyle \frac{x-1}{1}= \frac{y}{1} = \frac{z-1}{2} \)

Respuesta al ejercicio 4

En la figura adjunta se tiene:

\( d = |P_oP|\sin \alpha \)

Por otro lado, el producto vectorial del vector director de la recta con el vector P₀P se expresa:

\( \displaystyle v\wedge P_oP = |v|\cdot|P_oP|\sin \alpha = |v|\cdot d \Rightarrow d = \frac{|v\wedge P_oP|}{|v|}\)

Las coordenadas del vector director de la recta viene dadas por los denominadores de la ecuación continua v(1, 1, 2). Las coordenadas de un punto de la recta vienen dadas por los términos conocidos del numerador, es decir P₀ = (1, 0, 1).
El vector P₀P tendrá entonces de coordenadas (x-x₀, y-y₀, z-z₀) = (0, 2, 2). El módulo del producto vectorial será entonces:

\( \displaystyle v\wedge P_oP = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ \end{array} \right| = 2\hat{i}- 2\hat{j} + 2\hat{k}\Rightarrow |v\wedge P_oP| = \sqrt{3·2^2} \)

El módulo del vector director valdrá:

\( \displaystyle |v| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6} \)

Con lo que, finalmente:

\( \displaystyle d = \frac{|v\wedge P_oP|}{|v|} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{6}} = \sqrt{2} \)