Ejercicios de geometría

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (4, 2, -1) y es perpendicular a los planos:

1•x – 3•y + z – 6 = 0 ; x + 4•z – 8 = 0

Determinar también el ángulo del plano hallado con cada uno de los ejes de coordenadas.

Respuesta al ejercicio 3

La ecuación general del plano es de la forma:

A•x + B•y + C•z + D = 0

Vamos a obtener los coeficientes A, B y C y el término independiente, D, para lo cual planteamos un sistema de ecuaciones. Sabemos que el punto (4, 2, -1) pertenece al plano, por lo tanto, satisfará la ecuación anterior, es decir:

4•A + 2•B – C = - D

Por otro lado, nos dan las ecuaciones de dos planos perpendiculares al solicitado y sabemos que la condición de perpendicularidad de dos planos es:

A•A’ + B•B’ + C•C’ = 0

Por lo que tendremos:

A - 3•B + C = 0 ; A + 4•C = 0

Y podemos formar el sistema:

4•A + 2•B – C = - D ; A - 3•B + C = 0 ; A + 4•C = 0

Si tomamos D como valor conocido obtenemos:

\( \displaystyle A = - \frac{4D}{19}\; ; \; B = - \frac{D}{19}\; ; \;C = \frac{D}{19} \)

Y sustituyendo en la ecuación general:

\( \displaystyle A = - \frac{4D}{19}x - \frac{D}{19}y+ \frac{D}{19}z + D = 0 \)

Simplificando, cambiando de signo y eliminando denominadores, queda:

4•x + y – z – 19 = 0

Que es la ecuación pedida.
Sabemos que el ángulo formado por los vectores directores de un plano y una recta es el complementario del formado por el plano y la recta, por lo tanto tenemos:

\( \displaystyle\cos (90 - \alpha) = \sin \alpha = \frac{Aa + Bb + Cc}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)

Sabiendo entonces que los vectores directores de los ejes X, Y y Z son, respectivamente, v_x = (1, 0, 0), v_y = (0, 1, 0) , v_z = (0, 0, 1) tenemos:

\( \displaystyle \sin \alpha_x = \frac{4}{3\sqrt{2}}\; ; \;\sin \alpha_y = \frac{1}{3\sqrt{2}}\; ; \;\sin \alpha_z = \frac{-1}{3\sqrt{2}} \)

Y el problema ha quedado resuelto.