Ejercicios de geometría - Respuesta 3

La ecuación general del plano es de la forma:

A•x + B•y + C•z + D = 0

Vamos a obtener los coeficientes A, B y C y el término independiente, D, para lo cual planteamos un sistema de ecuaciones. Sabemos que el punto (4, 2, -1) pertenece al plano, por lo tanto, satisfará la ecuación anterior, es decir:

4•A + 2•B – C = - D

Por otro lado, nos dan las ecuaciones de dos planos perpendiculares al solicitado y sabemos que la condición de perpendicularidad de dos planos es:

A•A’ + B•B’ + C•C’ = 0

Por lo que tendremos:

A - 3•B + C = 0 ; A + 4•C = 0

Y podemos formar el sistema:

4•A + 2•B – C = - D ; A - 3•B + C = 0 ; A + 4•C = 0

Si tomamos D como valor conocido obtenemos:



Y sustituyendo en la ecuación general:



Simplificando, cambiando de signo y eliminando denominadores, queda:

4•x + y – z – 19 = 0

Que es la ecuación pedida.
Sabemos que el ángulo formado por los vectores directores de un plano y una recta es el complementario del formado por el plano y la recta, por lo tanto tenemos:



Sabiendo entonces que los vectores directores de los ejes X, Y y Z son, respectivamente, v_x = (1, 0, 0), v_y = (0, 1, 0) , v_z = (0, 0, 1) tenemos:



Y el problema ha quedado resuelto.