PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 2

Si eliminamos denominadores, obtenemos la ecuación de la recta como corte de dos planos. Tomando las ecuaciones dos a dos, resulta:
    \(\begin{matrix} 2x - y+ 1 = 0 \\ y - 2z + 1 = 0 \end{matrix} \)
Se define como haz de planos al conjunto de los planos que se cortan en una recta común. Todos los planos del haz se pueden obtener como combinación lineal de dos planos pertenecientes al haz. Obtenemos entonces la ecuación del haz que satisfacen los dos planos anteriores:
2•x – y + 1 + λ(y – 2.z + 1) = 0
Como el plano que nos interesa debe contener al punto (1, 2, 3), la anterior ecuación debe quedar satisfecha por dicho valor:
2•x – y + 1 + λ(y – 2.z + 1) = 0 → 2•1 – 2 + 1 + λ(2 – 2.3 + 1) = 0 → λ = 1/3
Hemos obtenido de ese modo el valor del parámetro que satisface las condiciones pedidas. Sustituyendo en la ecuación y agrupando coordenadas, tenemos:

    \( 2x-y + 1 + \frac{1}{3}(y -2z + 1) = 0 \Rightarrow 6x - 2y + 4 = 0 \)
Podemos también resolver el problema en otra forma. Para ello obtenemos tres puntos que pertenezcan al plano y desarrollamos el determinante:

    \( \displaystyle\left| \begin{array}{cccc} x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ \end{array} \right| = 0\)
Necesariamente, el punto (1, 2, 3) debe pertenecer al plano, por lo que será uno de los puntos. Si tomamos complementariamente dos puntos de la recta, tendremos los necesarios. Considerando las dos primeras ecuaciones y dando valores a una de las coordenadas, obtenemos las otras dos:

    \( \displaystyle\left. \begin{array}{cc} 2x-y+1 =0 \\ y - 2z + 1 = 0 \end{array} \right| \begin{array}{cc} si \; x =0 \Rightarrow y = 1 ; z = 1\Rightarrow (0,1,1) \\ si \; x =1 \Rightarrow y = 3 ; z = 2\Rightarrow (1,3,2) \end{array} \)
Con lo que podemos formar el determinante:

    \( \displaystyle\left| \begin{array}{cccc} x & y & z & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ \end{array} \right| = 0\)
Que resuelto por los adjuntos de la primera fila nos da:

    \( \displaystyle x \left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{array} \right| - y \left| \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ \end{array} \right| + z \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ \end{array} \right| - \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right| = 0 \)
Y desarrollando:
3•x – 1•y + (-1)•z – (-2) = 0 → 3•x – y – z + 2 = 0
Ecuación que coincide con la obtenida por el método anterior.
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
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tema escrito por: José Antonio Hervás