PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 1

Podemos considerar, sobre un sistema de ejes cartesianos en el espacio, dos puntos P1 y P2 y un punto genérico P de la recta.

dos puntos en el espcio

Teniendo en cuenta la figura adjunta, resulta:

    \( \displaystyle\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_1}+ \overrightarrow{P_1P_2} \)
Y considerando que todo vector arbitrario P1P es combinación lineal del vector P1P2, la igualdad anterior nos queda:

    \( \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_1}+\lambda\cdot \overrightarrow{P_1P_2} \)
Y sustituyendo por los valores de las coordenadas:

    \( \begin{array}{l} (x,y,z)= (x_1,y_1,z_1) + \lambda(x_1- x_2,y_1- y_2,z_1-z_2)= \\  \\ = (1,2,3) + \lambda(1,1,1) \end{array}\)
Que es la ecuación vectorial de la recta pedida. La anterior ecuación también se puede poner:

    \( \displaystyle \begin{matrix} x = x_1 + \lambda (x_1 - x_2) = 1 + \lambda\cdot1 \\ y = y_1 + \lambda (y_1 - y_2) = 2 + \lambda\cdot1 \\ z = z_1 + \lambda (z_1 - z_2) = 3 + \lambda\cdot1\end{matrix} \)
Que es la ecuación paramétrica de la recta. Eliminando el parámetro se obtiene la ecuación cartesiana:

    \( \displaystyle \lambda = \frac{x-x_1}{x_1-x_2} = \frac{y-y_1}{y_1-y_2} =\frac{z-z_1}{z_1-z_2} \)
Y en nuestro caso concreto:
    \( \displaystyle \lambda = \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} =\frac{z-3}{1} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
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tema escrito por: José Antonio Hervás