PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electricidad y magnetismo

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Ejercicios de electricidad y magnetismo

Calcular el campo eléctrico en puntos situados sobre el eje de un disco de radio R, que contiene una carga σ por unidad de superficie.

Respuesta al ejercicio 40

Para resolver este ejercicio tendremos en cuenta el desarrollo del ejercicio 39 en el que hemos calculado el potencial eléctrico en los mismos puntos. Tenemos:
    \( \displaystyle V = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left(\sqrt{z^2 + R^2} - \sqrt{z^2}\right) \)
Y recordando la relación entre el campo y el potencial, tenemos para el campo eléctrico en la dirección del eje z:
    \( \displaystyle E_z = - \frac{\partial V}{\partial z} = - \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left(\frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} - 1\right) = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right) \)
A la vista de la expresión obtenida, podemos ver que para grandes distancias sobre el eje, el campo eléctrico tiende a cero.
    \( \displaystyle \begin{array}{l} E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left(1 - \frac{1}{ \displaystyle \sqrt{1 + \left(\frac{R}{z}\right)^2}}\right) \cong \\  \\ \cong \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\left\{1-\left[1 - \frac{1}{2} \left(\frac{R}{z}\right)^2 \right]\right\} = \frac{\sigma}{4 \varepsilon_0}\left(\frac{R}{z}\right)^2 \end{array}\)
Donde hemos desarrollado en serie. Podemos continuar haciendo:
    \( \displaystyle E = \frac{\sigma}{4 \varepsilon_0}\left(\frac{R}{z}\right)^2 = \frac{\pi \sigma}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{R^2}{z^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q}{z^2} \)
Y el campo a grandes distancias tiene la misma forma que el campo producido por una carga puntual,
Para valores de z muy pequeños (distancias muy cortas), podemos poner:
    \( \displaystyle E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right) \cong \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left(1 - \frac{z}{R}\right) \cong \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
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tema escrito por: José Antonio Hervás