PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de electricidad y magnetismo

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Problemas de electricidad

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Ejercicios de electricidad y magnetismo

Respuesta al ejercicio 40

Para resolver este ejercicio tendremos en cuenta el desarrollo del ejercicio 39 en el que hemos calculado el potencial eléctrico en los mismos puntos. Tenemos:
    \( \displaystyle V = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left(\sqrt{z^2 + R^2} - \sqrt{z^2}\right) \)
Y recordando la relación entre el campo y el potencial, tenemos para el campo eléctrico en la dirección del eje z:
    \( \displaystyle E_z = - \frac{\partial V}{\partial z} = - \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left(\frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} - 1\right) = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right) \)
A la vista de la expresión obtenida, podemos ver que para grandes distancias sobre el eje, el campo eléctrico tiende a cero.
    \( \displaystyle \begin{array}{l} E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left(1 - \frac{1}{ \displaystyle \sqrt{1 + \left(\frac{R}{z}\right)^2}}\right) \cong \\  \\ \cong \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\left\{1-\left[1 - \frac{1}{2} \left(\frac{R}{z}\right)^2 \right]\right\} = \frac{\sigma}{4 \varepsilon_0}\left(\frac{R}{z}\right)^2 \end{array}\)
Donde hemos desarrollado en serie. Podemos continuar haciendo:
    \( \displaystyle E = \frac{\sigma}{4 \varepsilon_0}\left(\frac{R}{z}\right)^2 = \frac{\pi \sigma}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{R^2}{z^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q}{z^2} \)
Y el campo a grandes distancias tiene la misma forma que el campo producido por una carga puntual,
Para valores de z muy pequeños (distancias muy cortas), podemos poner:
    \( \displaystyle E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right) \cong \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left(1 - \frac{z}{R}\right) \cong \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO


tema escrito por: José Antonio Hervás