PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electricidad y magnetismo

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Ejercicios de electricidad y magnetismo

Hallar el potencial y el campo eléctrico en puntos situados sobre el eje de un disco de radio R, que contiene una carga \(\sigma\) por unidad de superficie.

Respuesta al ejercicio 41

Vamos a calcular en primer lugar el potemcial.Para ello suponemos que el disco esta dividido en coronas circulares de anchura dr, Cada una de estas bandas tendra una dq por lo que el potencial sobre un punto P del eje del disco valdra :
    \( \displaystyle V =\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\int_1^2\frac{dq}{r'}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_o}\sigma\int_1^2\frac{dS}{r'}\)
Ahora bien, por otro lado tenemos:
    \( \displaystyle dS = 2 \pi r dr \quad ; \quad r' = \sqrt{z^2 + R^2} \)
Por todo ello, sustituyendo hos queda:.
    \( \displaystyle V= \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_o}\int_1^2\frac{2\pi·rdr}{\sqrt{r^2 + R^2}}= \frac{\sigma}{2\pi\varepsilon_o}\int_1^2\frac{rdr}{\sqrt{r^2 + R^2}} \)
Y teniendo en cuenta que los limites de integración on O y R, podemos poner:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    V= \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_o}\int_1^2\frac{2\pi·rdr}{\sqrt{r^2 + R^2}}= \\
     \\
    = \frac{\sigma}{2\varepsilon_o}\left[\sqrt{z^2 + r^2}\right]_O^R= \frac{\sigma}{2\varepsilon_o}\left[\sqrt{z^2 + r^2}-\sqrt{z^2}\right]
    \end{array}\)
Para calcular el campo el campo eléctrico en la dirección del eje, tenemos:
    \( \displaystyle E_z=\frac{\partial V}{\partial z}= - \frac{\sigma}{2\varepsilon_o}\left(\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}-1\right) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_o}\left(1- \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right) \)
Según la expresión obtenida, podemos ver que para grandes distancias sobre el eje el campo eléctrico tiende a cero.\(\left[1-\left(1-\frac{1}{2}·\frac{R^2}{z^2}\right)\right]\)
    \( \displaystyle E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left(1-(1+R^2/z^2)^{-1/2}
    \right) \cong (*)\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\left[1-\left(1-\frac{1}{2}·\frac{R^2}{z^2}\right)\right] = \)

    \(\displaystyle = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\frac{R^2}{z^2}\cong \frac{\pi\sigma}{2\pi \varepsilon_0}\frac{R^2}{z^2} (**) = \frac{1}{2\pi \varepsilon_0}\frac{Q}{z^2}\)
Asi (*) hemos desarrollado en serie y en (**) hemos sustituido \(\pi R^2\sigma\) por la carga total del disco. Vemos así que el campo a distancias grandes tiene la misma forma que el campo producido por una carga puntual. Para distancias de z muy cortas, podemos poner:
    \( \displaystyle \frac{\sigma}{2\varepsilon_o}\left(1-\frac{1}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right)= \frac{\sigma}{2\varepsilon_o}\left(1-\frac{z}{R}\right)\cong \frac{\sigma}{2\varepsilon_o}
    \)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás