PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electricidad y magnetismo

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Ejercicios de electricidad y magnetismo

Una carga puntual q está colocada en el punto (0, 0, a) frente a una esfera conductora de radio R y centro en el origen, puesta a potencial nulo.

carga puntual y esfera conductora
Calcular la densidad superficial de carga en el punto de la superficie conductora de coordenadas esféricas \(R, \theta, \varphi \) y la carga total de la esfera.

Respuesta al ejercicio 36

Como el campo que crea q varía con la distancia, la distribución de carga en la esfera será función sólo de \( \theta \) , pues para un radio determinado todos los valores de \( \Phi \) dan igual distancia. Podemos ver entonces que para elementos de la esfera con el mismo ángulo, \( \theta \), el campo eléctrico valdrá:
    \( \displaystyle E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0d^2} \cos g\hat{u}_r + \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0d^2} \sin g\hat{u}_{\theta} \)

carga puntual y esfera conductoracomponentes del campo eléctrico


Donde, según la figura, tenemos:
    \( \begin{array}{l} \cos g = \cos (\alpha + \theta)= \cos \alpha \cos \theta - \sin \alpha \sin \theta \\ \\ \sin g = \sin (\alpha + \theta)= \sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta \end{array} \)
Siendo los valores de cada una de las funciones trigonométricas:
    \( \begin{array}{l} \displaystyle \sin \alpha = \frac{r}{d} \; ; \; \cos \alpha = \frac{a-z}{d} \; ; \; \sin \theta = \frac{r}{R} \; ; \; \cos \theta = \frac{z}{R} \\ \\ \displaystyle \cos g = \frac{z}{R}\frac{a-z}{d} - \frac{r}{d}\frac{r}{R} = \frac{z(a-z) + r^2}{Rd} \\ \\ \displaystyle \sin g = \frac{r}{d}\frac{z}{R} + \frac{a-z}{d}\frac{r}{R} = \frac{ar}{Rd} \\ \\ r = R\sin \theta \; ; \; d = \sqrt{r^2 + (z-a)^2} \end{array} \)
Sustituyendo todos los valores anteriores en la ecuación que nos da el campo eléctrico:
    \( \displaystyle E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0d^2}\left[\frac{R-a\cos \theta}{(R^2 - 2Ra\cos \theta + a^2)^{3/2}}\hat{u}_r + \frac{a\sin \theta}{(R^2 - 2Ra\cos \theta + a^2)^{3/2}}\hat{u}_{\theta}\right] \)
La carga total vendrá dada por el flujo del vector E a través de la superficie esférica. Así, teniendo en cuenta que el producto
    \( \hat{u}_{\theta}d\vec{S} \)
Es nulo, resulta que podemos escribir la densidad superficial de carga en la forma:
    \( \displaystyle \sigma = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0d^2}\frac{R-a\cos \theta}{(R^2 - 2Ra\cos \theta + a^2)^{3/2}} \)
Y de ese modo, la carga total valdrá:
    \( \displaystyle Q = \int \limits_0^R \frac{q}{4\pi\varepsilon_0d^2}\frac{R-a\cos \theta} {(R^2 - 2Ra\cos \theta + a^2)^{3/2}}2 \pi R^2\sin \theta d\theta \)
Haciendo el cambio de variable \( \cos \theta = t \) nos queda:
    \( \displaystyle Q = - \frac{qR^2}{2\varepsilon_0} \int \limits_0^R \frac{(R-at)dt} {(R^2 - 2Ra\cos \theta + a^2)^{3/2}}\)
Y después de hacer operaciones:
    \( \displaystyle Q = \frac{qaR}{2\varepsilon_0}\left[\frac{1}{(R-a)^2} + \frac{1}{(R+a)^2} \right]\)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
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tema escrito por: José Antonio Hervás