PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electricidad y magnetismo

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Ejercicios de electricidad y magnetismo

Dos cargas puntuales, q, están separadas una distancia 2.a y una partícula de masa m y carga q' puede desplazarse sobre la recta que las une. Tomando esta recta como eje X y el origen en el punto medio, obtener:
    a) El potencial, V(x), del campo creado por las cargas q.
    b) La fuerza sobre la partícula de masa m y su posición de equilibrio.
    c) El periodo de las pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio.
Respuesta al ejercicio 35

El potencial vendrá dado por:
    \( \displaystyle V(x) = \frac{1}{4 \pi\varepsilon_0}\left( \frac{q}{a-x} + \frac{q}{a+x}\right) = \frac{q}{4 \pi\varepsilon_0}\left( \frac{2aq}{a^2-x^2}\right) \)
Con este resultado podemos obtener el campo eléctrico producido por las cargas:
    \( \displaystyle E(x) = - \frac{\partial V(x)}{\partial x} = - \frac{dV}{dx} = - \frac{q}{\pi\varepsilon_0}\frac{ax}{\left(a^2 - x^2\right)^2} \)
Obtenemos de ahí que la fuerza que actúa sobre la carga q' es:
    \( \displaystyle F(x) = q'E =- \frac{qq'}{\pi\varepsilon_0}\frac{ax}{\left(a^2 - x^2\right)^2} \)
Puesto que sobre la partícula q' no actúa otra fuerza que la eléctrica, la posición de equilibrio se obtendrá por:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} F_c = - \frac{qq'}{\pi\varepsilon_0}\frac{ax}{\left(a^2 - x^2\right)^2} \\ \\ F_m = m\ddot{x} \end{array}\right\} \; m\ddot{x} = \\  \\ = - \frac{qq'}{\pi\varepsilon_0}\frac{ax} {\left(a^2 - x^2\right)^2} = 0 \Rightarrow x = 0 \end{array} \)
El periodo de las pequeñas oscilaciones lo podemos obtener considerando que para x<< a podemos despreciar x² frente a a² y poner :
    \( \displaystyle \left. \begin{array}{l} \ddot{x} + \frac{qq'}{\pi\varepsilon_0}\frac{x}{a^3} \\ \\ \ddot{x} + \omega^2 x = 0 \end{array}\right\} \; \omega = \sqrt{\frac{qq'}{\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a^3}} \)
Conocida la frecuencia, tendremos finalmente:
    \( \displaystyle \omega = \sqrt{\frac{qq'}{\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a^3}} = \frac{2 \pi}{T} \Rightarrow T = \frac{2 \pi}{\sqrt{ \displaystyle\frac{qq'}{\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a^3}}} \)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
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tema escrito por: José Antonio Hervás