Determinar
el valor del campo eléctrico producido en un punto P situado
a distancia a de una distribución continua, lineal,
rectilínea e indefinida.
RESPUESTA 10
Sabemos
que la intensidad de campo en un punto P debido a una
carga q, vale:
Un elemento dq de carga, considerado en la figura adjunta
, produce un campo que vale :
Si descomponemos el vector dE, producido por dq, tal como
indica la figura, obtenemos dos componentes dEH
y dEN , paralela y normal a a, respectivamente. |
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Al hacer lo mismo con el elemento simétrico dq', observamos
que las componentes dEN y dE'N se anulan
por ser iguales y de sentido contrario, pero no las componentes
paralelas a a que se sumarán.
Considerando la figura, cada una de estas componentes dEH
vale:
La intensidad producida por los infinitos elementos dq será
la suma de las infinitas intensidades de campo dE; es decir,
la intensidad total vendrá dada por la integral:
Llamando lamda a la densidad lineal de carga, podemos poner
:
Para poder integrar esta expresión debemos transformarla de
modo que sólo aparezca en ella una variable.
Para el primer cambio, consideramos el triángulo PMN de la
figura y el teorema de los senos :
Por otro lado, al tenerse  ,
podemos sustituir 
para escribir :
Con todo ello, la integral queda
Debemos realizar otro cambio. Para ello vemos que en el triángulo
PHN se tiene
y sustituyendo en la integral resulta :
Los límites de integración del ángulo serán - p/2 y + p/2
que corresponden, respectivamente, a la posición de un elemento
de corriente colocado en el infinito superior y en el infinito
inferior de la recta. Integrando nos queda:
Se puede llegar también a este resultado empleando el teorema
de Gauss que dice que el flujo saliente a través de una superficie
cerrada cualquiera en cuyo interior se encuentra un conjunto
de cargas es:
Tomaremos como superficie gaussiana un cilindro de radio
a y altura h, coaxial con el conductor, o distribución
de cargas y cuya superficie contenga al punto P.
Los vectores intensidad de carga son normales a la superficie
lateral del cilindro, pues de no ser así tendríamos
un componente E1 a lo largo del conductor,
que movería las cargas, en contra de la hipótesis inicial.
Tenemos entonces que no existe flujo a través de las
bases del cilindro.
En general, el flujo saliente a través de una superficie,
vale:
En este caso la intensidad del campo es constante en
todos los puntos de la superficie y el ángulo que forma
E con dS vale 0º, por lo que, sabiendo que el área lateral
del cilindro vale 2. .a.h,
tenemos :
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Por otro lado, el flujo total, obtenido según el teorema de
Gauss y que corresponde también al que sale por la superficie
lateral, por no haber otra posibilidad, al ser E perpendicular
a esta superficie lateral, valdrá:
Podemos poner la carga Q en función de la densidad lineal
de carga, por lo que, siendo h la longitud considerada, tendremos
:
Igualando los dos valores obtenidos, se tiene :
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