Al hacer lo mismo con el elemento simétrico dq', observamos que las componentes
dE
N y dE'
N se anulan por ser iguales y de sentido
contrario, pero no las componentes paralelas a
a que se sumarán.
Considerando la figura, cada una de estas componentes dE
H vale:
La intensidad producida por los infinitos elementos dq será la suma de
las infinitas intensidades de campo dE; es decir, la intensidad total
vendrá dada por la integral:
Llamando lamda a la densidad lineal de carga, podemos poner :
Para poder integrar esta expresión debemos transformarla de modo que sólo
aparezca en ella una variable.
Para el primer cambio, consideramos el triángulo PMN de la figura y el
teorema de los senos :
Por otro lado, al tenerse
,
podemos sustituir
para escribir :
Con todo ello, la integral queda
Debemos realizar otro cambio. Para ello vemos que en el triángulo PHN
se tiene
y sustituyendo en la integral resulta :
Los límites de integración del ángulo serán -
p/2
y +
p/2 que corresponden, respectivamente,
a la posición de un elemento de corriente colocado en el infinito superior
y en el infinito inferior de la recta. Integrando nos queda:
Se puede llegar también a este resultado empleando el teorema de Gauss
que dice que el flujo saliente a través de una superficie cerrada cualquiera
en cuyo interior se encuentra un conjunto de cargas es:
Tomaremos como superficie gaussiana un cilindro de radio a y altura
h, coaxial con el conductor, o distribución de cargas y cuya superficie
contenga al punto P.
Los vectores intensidad de carga son normales a la superficie lateral
del cilindro, pues de no ser así tendríamos un componente E1
a lo largo del conductor, que movería las cargas, en contra de la
hipótesis inicial. Tenemos entonces que no existe flujo a través
de las bases del cilindro.
En general, el flujo saliente a través de una superficie, vale:
En este caso la intensidad del campo es constante en todos los puntos
de la superficie y el ángulo que forma E con dS vale 0º, por lo
que, sabiendo que el área lateral del cilindro vale 2. .a.h,
tenemos :
 |
 |
Por otro lado, el flujo total, obtenido según el teorema de Gauss y que
corresponde también al que sale por la superficie lateral, por no haber
otra posibilidad, al ser E perpendicular a esta superficie lateral, valdrá:
Podemos poner la carga Q en función de la densidad lineal de carga, por
lo que, siendo h la longitud considerada, tendremos :
Igualando los dos valores obtenidos, se tiene :
