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MI COLECCIÓN DE PROBLEMAS RESUELTOS : ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO (VOLVER A LOS ENUNCIADOS)
Determinar el valor del campo eléctrico producido en un punto P situado a distancia a de una distribución continua, lineal, rectilínea e indefinida.

RESPUESTA 10

Sabemos que la intensidad de campo en un punto P debido a una carga q, vale:



Un elemento dq de carga, considerado en la figura adjunta , produce un campo que vale :



Si descomponemos el vector dE, producido por dq, tal como indica la figura, obtenemos dos componentes dEH y dEN , paralela y normal a a, respectivamente.
Al hacer lo mismo con el elemento simétrico dq', observamos que las componentes dEN y dE'N se anulan por ser iguales y de sentido contrario, pero no las componentes paralelas a a que se sumarán.
Considerando la figura, cada una de estas componentes dEH vale:



La intensidad producida por los infinitos elementos dq será la suma de las infinitas intensidades de campo dE; es decir, la intensidad total vendrá dada por la integral:



Llamando lamda a la densidad lineal de carga, podemos poner :



Para poder integrar esta expresión debemos transformarla de modo que sólo aparezca en ella una variable.

Para el primer cambio, consideramos el triángulo PMN de la figura y el teorema de los senos :



Por otro lado, al tenerse , podemos sustituir para escribir :



Con todo ello, la integral queda



Debemos realizar otro cambio. Para ello vemos que en el triángulo PHN se tiene



y sustituyendo en la integral resulta :



Los límites de integración del ángulo serán - p/2 y + p/2 que corresponden, respectivamente, a la posición de un elemento de corriente colocado en el infinito superior y en el infinito inferior de la recta. Integrando nos queda:



Se puede llegar también a este resultado empleando el teorema de Gauss que dice que el flujo saliente a través de una superficie cerrada cualquiera en cuyo interior se encuentra un conjunto de cargas es:



Tomaremos como superficie gaussiana un cilindro de radio a y altura h, coaxial con el conductor, o distribución de cargas y cuya superficie contenga al punto P.
Los vectores intensidad de carga son normales a la superficie lateral del cilindro, pues de no ser así tendríamos un componente E1 a lo largo del conductor, que movería las cargas, en contra de la hipótesis inicial. Tenemos entonces que no existe flujo a través de las bases del cilindro.
En general, el flujo saliente a través de una superficie, vale:



En este caso la intensidad del campo es constante en todos los puntos de la superficie y el ángulo que forma E con dS vale 0º, por lo que, sabiendo que el área lateral del cilindro vale 2..a.h, tenemos :


Por otro lado, el flujo total, obtenido según el teorema de Gauss y que corresponde también al que sale por la superficie lateral, por no haber otra posibilidad, al ser E perpendicular a esta superficie lateral, valdrá:



Podemos poner la carga Q en función de la densidad lineal de carga, por lo que, siendo h la longitud considerada, tendremos :



Igualando los dos valores obtenidos, se tiene :



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