Problemas y ejercicios resueltos de electricidad y magnetismo. Enunciado nueve con respuesta

Determinar el campo eléctrico generado por un dipolo, en un punto lo suficientemente alejado del mismo.

RESPUESTA 9

Un dipolo eléctrico está constituido por dos cargas eléctricas de igual magnitud y signo contrario, situadas a pequeña distancia.
Sabiendo que en cualquier punto del campo, la componente del campo en cierta dirección es igual al gradiente, cambiado de signo, del potencial en dicho punto, vamos a calcular primero el potencial en un punto P, para determinar después el campo.

Sea r la distancia del punto P al centro del eje del dipolo y

el ángulo que forma r con dicho eje.
Si el punto P está lo suficientemente alejado, podemos considerar que r es paralelo a r₁ y r₂ y, por lo tanto, dichas distancias de P a cada una de las cargas valen :

Sabiendo que el potencial, como función de una distribución de cargas puntuales, viene dado por la expresión :

podemos poner :

Si r es muy grande frente a la separación de las cargas, puede despreciarse el sustraendo del denominador.Por otro lado, el producto q.l se denomina momento dipolar y se representa por p. Según eso, podemos poner :

Vemos entonces que el potencial del punto P depende de las coordenadas polares r y

.
Vamos a calcular ahora las componentes de E en las direcciones de los vectores unitarios intrínsecos asociados a r y

respectivamente.
Derivando respecto a cada una de las variables, tenemos :

La longitud de los elementos diferenciales en la dirección en que r y

crecen son, respectivamente dr y r. d

; por lo tanto, sabiendo que E es el gradiente, cambiado de signo, del potencial, podemos poner :

En un punto cualquiera, la intensidad resultante E, será :

Podemos determinar también el ángulo que E forma con la dirección radial.
Con la ayuda de figura adjunta, podemos ver que se tiene: