Determinar
el campo eléctrico generado por un dipolo, en un punto lo suficientemente
alejado del mismo.
RESPUESTA 9
Un dipolo eléctrico está constituido por dos cargas eléctricas
de igual magnitud y signo contrario, situadas a pequeña distancia.
Sabiendo que en cualquier punto del campo, la componente del
campo en cierta dirección es igual al gradiente, cambiado de
signo, del potencial en dicho punto, vamos a calcular primero
el potencial en un punto P, para determinar después el campo.
Sea r la distancia del punto P al centro del eje del dipolo
y 
el ángulo que forma r con dicho eje.
Si el punto P está lo suficientemente alejado, podemos considerar
que r es paralelo a r1 y r2 y, por lo
tanto, dichas distancias de P a cada una de las cargas valen
:
Sabiendo que el potencial, como función de una distribución
de cargas puntuales, viene dado por la expresión :
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podemos
poner :
Si r es muy grande frente a la separación de las cargas, puede
despreciarse el sustraendo del denominador.Por otro lado,
el producto q.l se denomina momento dipolar y se representa
por p. Según eso, podemos poner :
Vemos entonces que el potencial del punto P depende de las
coordenadas polares r y .
Vamos a calcular ahora las componentes de E en las direcciones
de los vectores unitarios intrínsecos asociados a r y
respectivamente.
Derivando respecto a cada una de las variables, tenemos :
La longitud de los elementos diferenciales en la dirección
en que r y
crecen son, respectivamente dr y r. d;
por lo tanto, sabiendo que E es el gradiente, cambiado de
signo, del potencial, podemos poner :
En un punto cualquiera, la intensidad resultante E,
será :
Podemos determinar también el ángulo que E forma con
la dirección radial.
Con la ayuda de figura adjunta, podemos ver que se tiene:
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