PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de electricidad y magnetismo

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de electricidad

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas y ejercicios resueltos

 

Ejercicios de electricidad y magnetismo

Respuesta al ejercicio 9

Un dipolo eléctrico está constituido por dos cargas eléctricas de igual magnitud y signo contrario, situadas a pequeña distancia.
Sabiendo que en cualquier punto del campo, la componente del campo en cierta dirección es igual al gradiente, cambiado de signo, del potencial en dicho punto, vamos a calcular primero el potencial en un punto P, para determinar después el campo.
Sea r la distancia del punto P al centro del eje del dipolo y θ el ángulo que forma r con dicho eje.

esquema de un dipolo eléctrico


Si el punto P está lo suficientemente alejado, podemos considerar que r es paralelo a r1 y r2 y, por lo tanto, dichas distancias de P a cada una de las cargas valen :
    \( \displaystyle r_1 = r - \frac{l}{2}\cos \theta \quad ; \quad r_2 = r + \frac{l}{2}\cos \theta \)
Sabiendo que el potencial, como función de una distribución de cargas puntuales, viene dado por la expresión :
    \( \displaystyle V = k\left(\frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} + ···\right) = k \sum \limits_{i=1}^{i=n}\frac{q_i}{r_i} \)
podemos poner :
    \( \displaystyle V_p = k\left(\frac{- q}{r + \frac{l}{2}\cos \theta} + \frac{q}{r - \frac{l}{2}\cos \theta}\right) = k·q·l\left(\frac{\cos \theta}{r^2 - \displaystyle \frac{l^2}{4}·\cos ^2 \theta}\right) \)
Si r es muy grande frente a la separación de las cargas, puede despreciarse el sustraendo del denominador.Por otro lado, el producto q.l se denomina momento dipolar y se representa por p. Según eso, podemos poner :
    \( \displaystyle V_p = k·p\left(\frac{\cos \theta}{r^2}\right) \)
Vemos entonces que el potencial del punto P depende de las coordenadas polares r y θ.
Vamos a calcular ahora las componentes de E en las direcciones de los vectores unitarios intrínsecos asociados a r y θ respectivamente.
Derivando respecto a cada una de las variables, tenemos :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} \left(kp\frac{\cos \theta}{r^2}\right) = - kp\frac{2·\cos \theta}{r^3} \\  \\ \frac{dV}{d \theta} = \frac{d}{d \theta} \left(kp\frac{\cos \theta}{r^2}\right) = - kp\frac{\sin \theta}{r^2} \end{array} \)
La longitud de los elementos diferenciales en la dirección en que r y θ crecen son, respectivamente dr y r. dθ; por lo tanto, sabiendo que E es el gradiente, cambiado de signo, del potencial, podemos poner :
    \(\displaystyle \begin{array}{l} E_r = - \frac{dV}{ds_r} = k·p·\frac{2·\cos \theta}{r^3}·\hat{u}_r \\  \\ E_\theta = - \frac{dV}{ds_\theta}= - \frac{dV}{r·d\theta} = k·p·\frac{\sin \theta}{r^3}·\hat{u}_\theta \end{array}\)
En un punto cualquiera, la intensidad resultante E, será :
    \( \displaystyle E = \sqrt{E_r^2 + E_\theta^2} =\frac{k·p}{r^3} \sqrt{4·\cos ^2 \theta + \sin^2 \theta } \)
Podemos determinar también el ángulo que E forma con la dirección radial.

ángulos en un esquema dipolar


Con la ayuda de figura adjunta, podemos ver que se tiene:
    \( \displaystyle \tan \phi = \frac{E_\theta}{E_r} = \frac{k·p·\sin \theta /r^3}{2·k·p·\cos \theta /r^3} = \frac{\sin \theta}{2·\cos \theta} = \frac{1}{2}·\tan \theta \)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO


tema escrito por: José Antonio Hervás