Ejercicios de electricidad y magnetismo
Se tienen tres cargas eléctricas iguales de 1 culombio
cada una y se colocan en los vértices de un triángulo
equilátero de 10 cm de lado. Calcular:
a) La fuerza sobre cada carga y la energía
potencial de cada una de ellas como resultado de las interacciones
con las otras.
b) El campo y el potencial eléctrico resultante en el
centro del triángulo
c) La energía potencial interna del sistema
Respuesta al ejercicio 8
Puesto que todas las cargas son iguales, podemos ver que la
fuerza sobre cada carga llevará la dirección de
la bisectriz que parte del vértice en que se encuentra
la carga.
Cada una de estas fuerzas será debida a dos componentes
que llevarán las direcciones de los lados que concurren
en el vértice en que se encuentra la carga. Cada componente
vale:
\( \displaystyle F = K\left(\frac{Q}{r}\right)^2 = 9 \times
10^9 \times \frac{1}{(0,1)^2} = 9 \times 10 ^{11} Nw \)
Para conocer la fuerza total debemos sumar las componentes de
F
1 y F
2 sobre la dirección de la
bisectriz, es decir:
\( \displaystyle F_t = F_1 \cos 30 + F_2 \cos 30 = 2·F·\cos
30 = 2 \times 9 \times 10^{11} \times \frac{\sqrt{3}}{2} Nw
\)
Para calcular la energía potencial de cada carga, determinamos
antes los potenciales eléctricos producidos por las otras
dos:
\( \displaystyle V = \sum \limits_{i=1}\frac{1}{4·\pi \varepsilon_0}
\times \frac{q_i}{r_i} = 2 \times 9 \times 10^9 \times \frac{1}{0,1}
= 1,8 \times 10^{11} V. \)
Según eso, la energía potencial de cada carga
valdrá:
\( E_p = V·q = (1,8 \times 10^{11} \textrm{ Voltios}) \times
1 \textrm{ Culombio} = 1,8 \times 10^{11} J. \)
En el apartado anterior hemos calculado el valor de la fuerza
sobre cada carga y su dirección. Sobre el punto medio
del triángulo actúan, por lo tanto, tres fuerzas
iguales en el sentido que se indica en el esquema adjunto,
de ahí que podamos decir que el campo sobre el punto
C es nulo puesto que se tiene:
\( \displaystyle E = \frac{F}{q} \Rightarrow E·q = F = 0 \Rightarrow
E = 0 \)
El potencial, en cambio, no es nulo ya que se tiene:
\( \displaystyle V = \sum \limits_{i=1}\frac{1}{4·\pi \varepsilon}
\times \frac{q_i}{r_i} = 4,5 \times 10^{11} \textrm{ Voltios}
\)
Siendo r en este caso (2/3)x0,1.
La energía potencial electrostática del sistema
viene dada por la expresión:
\( \displaystyle \frac{1}{2}\sum \limits_{i=1}q_j V_j = 2,7
\times 10^{11} \textrm{ Julios} \)