PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electricidad y magnetismo

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Ejercicios de electricidad y magnetismo

Los dos cilindros coaxiales de un condensador tienen radios R1 y R2 y están conectados a los polos de un generador de tensión V y resistencia interna despreciable. Calcular:

a) La fuerza con que se atraen las armaduras
b) La corriente que circula por el generador, si un dispositivo mecánico provoca un movimiento sinusoidal de la armadura interna con una frecuencia w y una amplitud a.

dos cilindros coaxiales


Respuesta al ejercicio 7

Hasta que se alcance el equilibrio, la diferencia de potencial entre las placas es constante pero varía la capacidad y, por consiguiente, la carga del condensador.
En un instante determinado, cuando la carga almacenada por el condensador es Q y su capacidad C, la energía del sistema vale:
    \( \displaystyle W = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^{\;2} \)
Consideremos un desplazamiento infinitesimal, dx, de la armadura interior. La variación de energía del condensador será:
    \( \displaystyle dW = \frac{1}{2}V^{\;2}dC \)
Pero como el sistema no está aislado hay transferencia de energía de la armadura interna a la externa a través del generador:
    \( Q = CV \Rightarrow dQ = VdC \; ; \; W' = QV \Rightarrow dW' = V^{\;2} dC \)
El trabajo de las fuerzas del campo será entonces dW = - dW’ y este trabajo será igual magnitud y de signo contrario al trabajo de las fuerzas exteriores:
    \( \displaystyle dL = - (dW - dW') = \frac{1}{2}V^{\;2}dC \)
Pero el trabajo de las fuerzas exteriores es:
    \( dL = F_xdx \)
Y, por lo tanto:
    \( \displaystyle dL = F_xdx = \frac{1}{2}V^{\;2}dC \Rightarrow F_x = \frac{1}{2}V^{\;2} \frac{d C}{dx} \)
Sabiendo ahora que la capacidad de un condensador cilíndrico es:
    \( \displaystyle C = \frac{2\pi \varepsilon x}{\ln \Big(R_2/R_1 \Big)} \Rightarrow dC = \frac{2\pi \varepsilon dx}{\ln \Big(R_2/R_1 \Big)} \Rightarrow \frac{dC}{dx} = \frac{2\pi \varepsilon }{\ln \Big(R_2/R_1 \Big)} \)
Podemos poner finalmente:
    \( \displaystyle F_x = \frac{1}{2}V^{\;2} \frac{2\pi \varepsilon }{\ln \Big(R_2/R_1 \Big)} = \frac{2\pi \varepsilon }{\ln \Big(R_2/R_1 \Big)}V^{\;2} \)
La intensidad de corriente que circula por el circuito vale:
    \( \displaystyle I = \frac{dQ}{dt} = \frac{dC}{dt}V = \frac{dC}{dx}\frac{dx}{dt}V \)
Si el movimiento es armónico y la armadura oscila alrededor de un punto x0, se tendrá:
    \( \displaystyle x = x_0 + a\sin (\omega t + \phi) \Rightarrow \frac{dx}{dt} = a\omega \cos (\omega t + \phi) \)
Y, por lo tanto:
    \( \displaystyle I = V \frac{2\pi \varepsilon }{\ln \Big(R_2/R_1 \Big)}a\omega \cos (\omega t + \phi) = I_0\cos (\omega t + \phi) \)
Y podemos decir que la corriente es alterna y de la misma frecuencia que la oscilación de la armadura.
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
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tema escrito por: José Antonio Hervás