Ejercicios de electricidad y magnetismo

Dos condensadores de capacidades C₁ y C₂ y cargas Q₁ y Q₂ se ponen en contacto a través de una resistencia de valor r.
Comparar la tensión final con las iniciales V₁ y V₂, así como la energía final, W’, y la inicial, W. Determinar la carga que atraviesa la resistencia.

Respuesta al ejercicio 6

El esquema del circuito es como el representado en la figura adjunta:



Antes de conectar los condensadores entre sí, podemos establecer las relaciones:

\( Q_1 = V_1·C_1 \quad ; \quad Q_2 = V_2·C_2 \)

Cuando se conectan y se alcanza el equilibrio, la carga total no varía y la diferencia de potencial entre las placas es la misma para ambos condensadores:

\( Q'_1 + Q'_2 = Q_1 + Q_2 \quad ; \quad Q'_1 = V·C_1 \quad ; \quad Q'_2 = V·C_2 \)

Podemos poner entonces, al estar los condensadores en paralelo:

\( \displaystyle V = \frac{Q'_1}{C_1} = \frac{Q'_2}{C_2} = \frac{Q'_1 + Q'_2}{C_1+C_2} = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1+C_2} = \frac{C_1V_1 + C_2V_2}{C_1+C_2} \)

De esas mismas relaciones podemos obtener:

\( \displaystyle Q'_1 = \frac{C_1}{C_1+C_2}\left(Q_1 + Q_2\right) \quad ; \quad Q'_2 = \frac{C_2}{C_1+C_2}\left(Q_1 + Q_2\right) \)

La energía electrostática del sistema valdrá en cada caso:

\( \displaystyle W = \frac{1}{2}\left(C_1·V_1^2 + C_2·V_2^2\right) \quad ; \quad W' = \frac{1}{2}\left(C_1 + C_2\right)·V^2 \)

Y, según eso, la variación de energía del sistema será:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \triangle W = W' - W = \frac{1}{2}\left(C_1 + C_2\right)V^2 - \frac{1}{2}\left(C_1 V_1^2 + C_2 V_2^2\right) = \\  \\ = - \frac{1}{2}\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2} \end{array} \)

La carga que atraviesa la resistencia vendrá dada por:

\( \displaystyle \triangle Q_1 = - \triangle Q_2 = C_1V - C_1V_1 = \)

\( \displaystyle C_1·\frac{C_1V_1 + C_2V_2}{C_1+C_2} - C_1V_1 = \frac{C_1·C_2}{C_1+C_2}(V_2 - V_1) \)