PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electricidad y magnetismo

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Ejercicios de electricidad y magnetismo

Las armaduras de un condensador plano distan 1 cm y su capacidad es de 1 nF. Si se coloca a una tensión de 200 KV, calcular el trabajo para separar las armaduras hasta una distancia de 2 cm, en los casos:
    a) Si las armaduras están aisladas
    b) Si las armaduras están unidas a la fuente de tensión.
Respuesta al ejercicio 5

En cada una de las posiciones el condensador tendrá una capacidad distinta pues esta depende de la distancia entre las placas. Así pues, el trabajo para separar las armaduras en el primer caso es:
    \( \displaystyle W = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_2} - \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_1} = \frac{1}{2}Q^2\left(\frac{1}{C_2} - \frac{1}{C_1}\right)\)
Por otro lado, las capacidades las podemos expresar en la forma:
    \( \displaystyle C_1 = \varepsilon\frac{S}{d_1} \; ; \; C_2 = \varepsilon\frac{S}{d_2}\Rightarrow \varepsilon S = C_1d_1 = C_2d_2 \Rightarrow C_2 = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)C_1 \)
Y sustituyendo este valor en la expresión anterior:
    \( \displaystyle W = \frac{1}{2}Q^2\left(\frac{1}{C_2} - \frac{1}{C_1}\right) = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_1}\left(\frac{d_2}{d_1} - 1\right)\)
La carga que el condensador almacena la podemos calcular por la expresión:
    \( \displaystyle C = 1 \; nF = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{200 KV} = 10^{-9} F \Rightarrow Q = 2 \times 10^{-4} cul \)
Así pues, el trabajo a realizar en el primer caso es:
    \( \displaystyle W = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C_1}\left(\frac{d_2}{d_1} - 1\right) = \frac{1}{2}\frac{(2 \times 10^{-4} cul)^2}{10^{-9} F}\left(\frac{2}{1} - 1\right) = 20J \)
Para calcular el trabajo a realizar en el segundo caso, debemos considerar que la batería desarrolla trabajo sobre el condensador y, por lo tanto, tendremos:
δL = trabajo mecánico
δW = trabajo transferido de la batería al condensador = - V.dq
δU = variación de energía electrostática
La variación de trabajo mecánico menos la variación del trabajo de la batería nos da la variación de energía del sistema y podemos poner:
    \(\delta U = \delta L - \delta W \Rightarrow \delta L = \delta U + \delta W \Rightarrow dL = dU + dW \)
La diferencial de energía electrostática como función de la capacidad, la podemos obtener por la relación:
    \( \displaystyle U = \frac{1}{2}CV^{\; 2} \Rightarrow dU = \frac{1}{2}V^{\; 2}dC \)
Por otro lado, la diferencial dW la podemos transformar como sigue:
    \( \left.\begin{array}{c} W = - Vq \Rightarrow dW = - Vdq \\ \\ q = CV \Rightarrow dq = VdC \end{array}\right\} \quad dW = - V^{\; 2}dC \)
Y combinando este resultado con el anterior, resulta:
    \( \displaystyle dL = \frac{1}{2}V^{\; 2}dC - V^{\; 2}dC = - \frac{1}{2}V^{\; 2}dC \)
Por todo ello, para calcular el trabajo mecánico debemos realizar una integración:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} \triangle L = \int \limits _{L_1}^{L_2} dL = \int \limits _{C_1}^{C_2} - \frac{1}{2}V^{\; 2}dC \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \triangle L = - \frac{1}{2}V^{\; 2} \Big(C_2 - C_1 \Big) = \frac{1}{2}V^{\; 2} \Big(C_1 - C_2 \Big) \end{array} \)
Por el apartado anterior conocemos la relación entre las capacidades. Por todo ello resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \triangle L = \frac{1}{2}V^{\; 2} \Big(C_1 - C_2 \Big) = \frac{1}{2}V^{\; 2} \left(C_1 - \frac{d_1}{d_2}C_1\right) = \\  \\ = \frac{1}{2}V^{\; 2}C_1 \left(1 - \frac{d_1}{d_2}\right) = 10 \textrm{ J.} \end{array} \)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
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tema escrito por: José Antonio Hervás