Ejercicios de álgebra de Boole
Tenemos n variables lógicas \(A_0, A_1, \cdots, A_{n-1}\)
en un instante cualquiera, unas variables están en 1 lógico
y otras en 0 lógico. Necesitamos un circuito que nos permita
determinar si el número de variables en 1 lógico
es par o impar. Explicar como las puertas EXCLUSIVE-OR pueden
emplearse para este propósito.
Respuesta al ejercicio 23
Sabemos que la función EXCLUSIVE-OR vale 1 cuando una
de las dos variables que la forman vale 1 y 0 en todos los demás
casos. De ese modo la tabla de verdad con cuatro variables será:
| \(A\) |
\(B\) |
\(C\) |
\(D\) |
\(A\oplus B\) |
\(A\oplus B\oplus C\) |
\(A\oplus B\oplus C \oplus D\) |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
| 0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
| 0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
| 0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
| 0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
| 1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
A la vista de la tabla anterior podemos deducir:
- Si cuatro variables son "1" \(\Rightarrow\) salida
"0" (par)
- Si tres variables son "1" \(\Rightarrow\) salida
"0" (impar)
- Si dos variables son "1" \(\Rightarrow\) salida
"0" (par)
- Si una variables es "1" \(\Rightarrow\) salida
"0" (impar)
- Si cero variables son "1" \(\Rightarrow\) salida
"0" (par)
Extrapolando los resultados para n variables podemos construir
un circuito con puertas EXCLUSIVE-OR que nos verifique si el número
de variables en "1" lógico es par o impar.
Así, por ejemplo, si las puertas son de 2 entradas (como
suele ocurrir en realidad) el número de variables que podemos
estudiar es de 2
m,siendo m el número de niveles
del circuito. En general podemos considerar:
Donde:
- n = nº de variables
- r = nº de entradas de cada puerta lógica
- m = nº de niveles del circuito
En el caso de que r sea conocido (fijo) puede ajustarse el valor
de m. El problema puede estudiarse de forma general para optimizarlo.