Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 21

Sabemos que la condición necesaria y suficiente para que un subconjunto, B, de un conjunto, A, tenga estructura de grupo es que se cumpla:

\( \forall a, b \in B \quad ; \quad a·b^{-1} \in B \) en notación multiplicativa

\( \forall a, b \in B \quad ; \quad a - b \in B \) en notación aditiva

Y tenemos para el primer caso:

\( \left.\begin{array}{l} x = a + b\sqrt{n} \\ \\ y = a' + b' \sqrt{n} \end{array}\right\} \; \in S \Rightarrow (a + b\sqrt{n}) - (a' + b' \sqrt{n}) = (a-a') + (b-b')\sqrt{n} \)

Por lo que se cumple la condición necesaria, puesto que (a – a’) y (b – b’) pertenecen a Q.
Veamos si esto es suficiente:

Propiedad asociativa.-
La cumplen todos los elementos del grupo R
Elemento neutro.-


\( (a + b\sqrt{n}) \in S \quad \Rightarrow \quad - (a + b\sqrt{n}) + (a + b\sqrt{n}) = 0 \in S \)

Elemento simétrico.-


\( 0 \; , \; (a + b\sqrt{n}) \in S \quad \Rightarrow \quad 0- (a + b\sqrt{n}) = - a - b\sqrt{n} \in S \)

Los elementos de S son regulares por serlo como elementos de R.

Para el segundo caso:

\( \left.\begin{array}{l} x = a + b\sqrt{n} \\ \\ y = a' + b' \sqrt{n} \end{array}\right\} \; \in S^* \Rightarrow \displaystyle (a + b\sqrt{n})·\frac{1}{a'+b'\sqrt{n}} = \frac{a + b\sqrt{n}}{a'+b'\sqrt{n}} \)

Y operando:

\( \displaystyle \frac{a + b\sqrt{n}}{a'+b'\sqrt{n}} = \frac{(a + b\sqrt{n})(a' - b'\sqrt{n})}{(a')^2 - (b')^2·n} = \)

\( \qquad \qquad \qquad \displaystyle = \left(\frac{aa' - bb'n}{(a')^2 - n(b')^2}\right) + \left(\frac{a'b - ab'}{(a')^2 - n(b')^2}\right)\sqrt{n} \)

Por lo que se cumple la condición necesaria al ser las expresiones contenidas entre paréntesis elementos de Q.
Veamos si esto es suficiente:

Propiedad asociativa.-
La cumplen todos los elementos del grupo R*
Elemento neutro.-


\( \displaystyle = \left(\frac{(a)^2 - n(b)^2}{(a)^2 - n(b)^2}\right) + \left(\frac{ab - ab}{(a)^2 - n(b)^2}\right)\sqrt{n} = 1 + 0\sqrt{n} \)

Elemento simétrico.-


\( \displaystyle \frac{1+ 0\sqrt{n}}{a+b\sqrt{n}} \in S \)

Se demuestra que ese elemento pertenece a S* pues se tiene:


\( \displaystyle \frac{1+ 0\sqrt{n}}{a+b\sqrt{n}} = \frac{(1+ 0\sqrt{n})(a-b\sqrt{n})}{a^2 - nb^2} = \frac{a - b\sqrt{n}}{a^2 - nb^2} = \)

\( \qquad \qquad \qquad \qquad \displaystyle = \left(\frac{a}{a^2 - nb^2}\right) - \left(\frac{b}{a^2 - nb^2}\right)\sqrt{n} \)

Los elementos son regulares por ser elementos de R*.

Hemos demostrado lo propuesto.