Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 20

El centro de un anillo es el conjunto de los elementos del anillo que conmutan con todos los elementos del mismo. Siendo x e y dos elementos del anillo A, se ha de cumplir:

\((x+y) \in A \quad \Rightarrow \quad (x+y)^2 - (x+y) \in C \)

Haciendo operaciones tenemos:

\( (x+y)^2 - (x+y) = x^2 + x·y + y·x + y^2 - x - y = \)

\( (x^2 - x) + (y^2 - y) + x·y + y·x \)

Y de ahí podemos poner:

\( x·y + y·x = (x+y)^2 - (x+y)-(x^2 - x) - (y^2 - y) \)

Puesto que sabemos que el centro de un anillo A es un subanillo de A, el anterior elemento \(x·y + y·x\)(x•y + y•x) pertenecerá al centro del anillo, por ser composición de elementos que lo son; por lo tanto, conmutará con todos los elementos de A y podremos poner:

\( x(x·y + y·x) = (x·y + y·x)x \; \Rightarrow \; x^2·y + x·y·x = x·y·x + y·x^2 \; \Rightarrow \)

\( \Rightarrow \; x^2·y = y·x^2 \)

Por lo tanto, x² pertenece a C, puesto que conmuta con cualquier elemento y perteneciente a A.
Como, por otro lado (x² – x) pertenece a C y hemos dicho que C es un subanillo, podemos poner:

\( x^2 - (x^2 - x) = x \in C \)

De ahí que se tenga:

\( \forall x \in A \quad \Rightarrow \quad x \in C \quad \Leftrightarrow \quad C = A \)

Y, por lo tanto, A es un anillo conmutativo.