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Ejercicios de estructuras algebraicas

Demostrar que si para todo x perteneciente a un anillo A, el elemento x cumple:
    \( (x^2 - x) \in C \)
Donde C es el centro del anillo; entonces A es conmutativo si y solo si C = A.

Respuesta al ejercicio 20

El centro de un anillo es el conjunto de los elementos del anillo que conmutan con todos los elementos del mismo. Siendo x e y dos elementos del anillo A, se ha de cumplir:
    \((x+y) \in A \quad \Rightarrow \quad (x+y)^2 - (x+y) \in C \)
Haciendo operaciones tenemos:
    \( (x+y)^2 - (x+y) = x^2 + xy + yx + y^2 - x - y = \)

    \( (x^2 - x) + (y^2 - y) + xy + yx \)
Y de ahí podemos poner:
    \( xy + yx = (x+y)^2 - (x+y)-(x^2 - x) - (y^2 - y) \)
Puesto que sabemos que el centro de un anillo A es un subanillo de A, el anterior elemento \(xy + yx\)(x•y + y•x) pertenecerá al centro del anillo, por ser composición de elementos que lo son; por lo tanto, conmutará con todos los elementos de A y podremos poner:
    \( x(xy + yx) = (xy + yx)x \; \Rightarrow \)

    \( \Rightarrow\; x^2y + xyx = xyx + yx^2 \; \Rightarrow \; x^2y = yx^2 \)
Por lo tanto, x² pertenece a C, puesto que conmuta con cualquier elemento y perteneciente a A.
Como, por otro lado (x² – x) pertenece a C y hemos dicho que C es un subanillo, podemos poner:
    \( x^2 - (x^2 - x) = x \in C \)
De ahí que se tenga:
    \( \forall x \in A \quad \Rightarrow \quad x \in C \quad \Leftrightarrow \quad C = A \)
Y, por lo tanto, A es un anillo conmutativo.
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tema escrito por: José Antonio Hervás