Ejercicios de álgebra de Boole

a) Sea p cierta, q falsa y r una proposición que puede ser cierta o falsa, ¿que se puede decir de las siguientes proposiciones?

p.p'       ;       p + r       ;       (p.q + r)(p + r)

b) Escribir en castellano razonable la negación de la proposición p + q , siendo :

p : "el número 15 es par"
q : "hay un número que, cuando se añade a 6, da una suma de 13"

Respuesta al ejercicio 5

Para la primera proposición tenemos que es siempre falsa, puesto que la conjunción de dos proposiciones es cierta sólo cuando sean ciertas ambas, y no puede ocurrir que p y p' sean ciertas al mismo tiempo.

La segunda proposición es cierta en todo caso, puesto que para ser cierta la disyunción de dos proposiciones sólo es necesario que sea cierta una de ellas y en esta ocasión p lo es.
La tercera proposición la resolvemos calculando su tabla de verdad :

	p	q	r	p.q	p+r	p.q + r	(p.q+r)(p+r)
	1	0	0	0	1	0	0
	1	0	1	0	1	1	1

Puesto que p y q son respectivamente una tautología y una contradicción, la proposición estudiada es equivalente a la proposición r.

Para la segunda parte, teniendo en cuenta las leyes de Morgan podemos escribir:

\( \overline{p+q} = \bar{p}·\bar{q} \)

y, por lo tanto :

\( \overline{p+q} = \bar{p}·\bar{q} \; \) = "El número 15 NO es par y no hay un número que cuando se añade a 6 da una suma de 13"