Demostrar
que si P es un número entero primo, el anillo de los
enteros módulo p forma un campo, denominado campo de
Galois GF(P)
Respuesta 3
Partiendo de la base de que Z/p es un anillo conmutativo tenemos
que demostrar que se cumplen los dos axiomas siguientes
a) existe un único elemento 1 en Z/p tal
que : 
b) Para cada a distinto de 0 existe un elemento inverso
de a tal que 
Para el primero demostraremos previamente que para p primo
Z/p no tiene divisores de cero; esto es :
Supongamos que se tiene:  ,
entonces a.b = n.p (con n  N)
Puesto que a.b es múltiplo de p, y p es primo, uno
al menos de los números a, b será múltiplo
de p ; esto es, en Z/p uno al menos de los factores a , b
debe ser igual a 0.
Definimos ahora una aplicación llamada traslación
de un elemento a, no nulo, en la forma :
Esta aplicación es biyectiva pues se tiene
pero como Z/p no tiene divisores de cero, y "a"
es no nulo, tendremos :
x – y = 0  x
= y
Ta es inyectiva
Por otro lado se ha de cumplir :
pero como Z/p es finito tenemos:
Card(Im Ta ) = Card (Z/p)
Im Ta = Z/p
Ta es sobreyectiva
Puesto que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva
será biyectiva. En esas condiciones se tendrá
:
Este elemento "e" deja invariante a cualquier elemento
x
Z/p, pues se tiene:
Ta (x) = a.x = (e.a).x = (a.e).x
= a(e.x) = Ta (e.x)
x = e.x
y esto para todo x perteneciente a Z/p por ser Ta
inyectiva.
Tenemos entonces que existe elemento neutro para el producto
y este es único, ya que de haber dos se cumpliría
Denotamos el elemento neutro para el producto en Z/p, por
 .
Para demostrar que se cumple el segundo axioma consideramos
que según la aplicación biyectiva vista anteriormente,
existirá un a' tal que
Ta (a') = 1
a.a' = 1 a'
es simétrico de a
El elemento simétrico de uno dado es único.
Si a' y a" son simétricos de
a, se tiene :
Está claro que el elemento simétrico de a lo
podemos obtener haciendo:
a.a' = 1 a'
= 1/a = a-1
Con todo lo hecho hemos demostrado que Z/p es un cuerpo o
campo que al ser finito es un campo de Galois.
|
|
