| MI COLECCIÓN DE PROBLEMAS RESUELTOS : ALGEBRA DE BOOLE Y DE PROPOSICIONES (VOLVER A LOS ENUNCIADOS | |
| Demostrar
que si P es un número entero primo, el anillo de los enteros módulo
p forma un campo, denominado campo de Galois GF(P) Respuesta 3Partiendo de la base de que Z/p es un anillo conmutativo tenemos que demostrar que se cumplen los dos axiomas siguientes a) existe un único elemento 1 en Z/p tal que :Para el primero demostraremos previamente que para p primo Z/p no tiene divisores de cero; esto es : Supongamos que se tiene: Puesto que a.b es múltiplo de p, y p es primo, uno al menos de los números a, b será múltiplo de p ; esto es, en Z/p uno al menos de los factores a , b debe ser igual a 0. Definimos ahora una aplicación llamada traslación de un elemento a, no nulo, en la forma : Esta aplicación es biyectiva pues se tiene pero como Z/p no tiene divisores de cero, y "a" es no nulo, tendremos : x – y = 0Por otro lado se ha de cumplir : pero como Z/p es finito tenemos: Card(Im Ta ) = Card (Z/p) Puesto que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva será biyectiva. En esas condiciones se tendrá : Este elemento "e" deja invariante a cualquier elemento x Ta (x) = a.x = (e.a).x = (a.e).x = a(e.x) = Ta (e.x)y esto para todo x perteneciente a Z/p por ser Ta inyectiva. Tenemos entonces que existe elemento neutro para el producto y este es único, ya que de haber dos se cumpliría ![]() Denotamos el elemento neutro para el producto en Z/p, por Para demostrar que se cumple el segundo axioma consideramos que según la aplicación biyectiva vista anteriormente, existirá un a' tal que Ta (a') = 1 El elemento simétrico de uno dado es único. Si a' y a" son simétricos de a, se tiene : ![]() Está claro que el elemento simétrico de a lo podemos obtener haciendo: a.a' = 1Con todo lo hecho hemos demostrado que Z/p es un cuerpo o campo que al ser finito es un campo de Galois. |
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