Ejercicios de álgebra de Boole - Respuesta 3

Partiendo de la base de que Z/p es un anillo conmutativo tenemos que demostrar que se cumplen los dos axiomas siguientes

a) existe un único elemento 1 en Z/p tal que : \( \forall a \in Z/p \; : \; a·1 = 1·a = a \)
b) Para cada a distinto de 0 existe un elemento inverso de a tal que \( a·a^{-1} = 1 \)

Para el primero demostraremos previamente que para p primo Z/p no tiene divisores de cero; esto es :

\( \bar{a} \neq 0 \quad ; \quad \bar{b} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \bar{a}·\bar{b} = 0 \)

Supongamos que se tiene: \(\bar{a}·\bar{b} = 0 \), entonces \(a·b = n·p \; \textrm{ con } n \in N \) a.b = n.p (con n ∈ N)
Puesto que a.b es múltiplo de p, y p es primo, uno al menos de los números a, b será múltiplo de p ; esto es, en Z/p uno al menos de los factores a , b debe ser igual a 0.
Definimos ahora una aplicación llamada traslación de un elemento a, no nulo, en la forma :

\( T_a \quad : \quad Z/p \quad \Rightarrow \quad Z/p \quad ; \quad x \quad \rightarrow \quad a·x \)

Esta aplicación es biyectiva pues se tiene

\(T_a(x) = T_a(y) \quad \Rightarrow \quad a·x = a·y \quad \Rightarrow \quad a·x - a·y = 0 \quad \Rightarrow \quad a(x-y) = 0 \)

pero como Z/p no tiene divisores de cero, y \( ^\prime a ^\prime \) es no nulo, tendremos :

\( x-y = 0 \Rightarrow x = y \Rightarrow T_a \; \) es inyectiva

x – y = 0 ⇒ x = y ⇒ T_a es inyectiva

Por otro lado se ha de cumplir :

\( \forall y \in Z/p \quad ; \quad \exists \; x \in Z/p \quad | \quad T_a(x) = y \)

pero como Z/p es finito tenemos:

Card(Im T_a ) = Card (Z/p) ⇒ Im T_a = Z/p ⇒ T_a es sobreyectiva

Puesto que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva será biyectiva. En esas condiciones se tendrá :

\( \exists \; e \in Z/p \quad | \quad T_a(e) = a \quad \Rightarrow \quad e·a = a·e = a \)

Este elemento "e" deja invariante a cualquier elemento x ∈ Z/p, pues se tiene:

T_a (x) = a.x = (e.a).x = (a.e).x = a(e.x) = T_a (e.x) ⇒ x = e.x

y esto para todo x perteneciente a Z/p por ser T_a inyectiva.

Tenemos entonces que existe elemento neutro para el producto y este es único, ya que de haber dos se cumpliría

\( \forall a \in Z/p \quad \left\{\begin{array}{c} a·e_1 = a \\ \\ a·e_2 = a \end{array}\right\} \; \Rightarrow \; a·e_1 - a·e_2 = 0 \; ; \; a(e_1-e_2) = 0 \; \Rightarrow \; e_1 = e_2 \)

Denotamos el elemento neutro para el producto en Z/p, por \( \bar{1} \) .

Para demostrar que se cumple el segundo axioma consideramos que según la aplicación biyectiva vista anteriormente, existirá un a' tal que

T_a (a') = 1 ⇒ a.a' = 1 ⇒ a' es simétrico de a

El elemento simétrico de uno dado es único. Si a' y a" son simétricos de a, se tiene :

\( \left.\begin{array}{c} a^{\prime \prime}·a·a^\prime = 1·a^\prime = a^\prime \\ \\ a^{\prime \prime}·a·a^\prime = a^{\prime \prime}·1 = a^{\prime \prime} \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad a^\prime = a^{\prime \prime} \)

Está claro que el elemento simétrico de a lo podemos obtener haciendo:

a.a' = 1 ⇒ a' = 1/a = a^-1

Con todo lo hecho hemos demostrado que Z/p es un cuerpo o campo que al ser finito es un campo de Galois.