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PROBLEMAS y EJERCICIOS RESUELTOS de ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
 
Demostrar que si P es un número entero primo, el anillo de los enteros módulo p forma un campo, denominado campo de Galois GF(P)
Respuesta 3
Partiendo de la base de que Z/p es un anillo conmutativo tenemos que demostrar que se cumplen los dos axiomas siguientes
a) existe un único elemento 1 en Z/p tal que :
b) Para cada a distinto de 0 existe un elemento inverso de a tal que
Para el primero demostraremos previamente que para p primo Z/p no tiene divisores de cero; esto es :



Supongamos que se tiene: , entonces a.b = n.p (con n N)
Puesto que a.b es múltiplo de p, y p es primo, uno al menos de los números a, b será múltiplo de p ; esto es, en Z/p uno al menos de los factores a , b debe ser igual a 0.
Definimos ahora una aplicación llamada traslación de un elemento a, no nulo, en la forma :



Esta aplicación es biyectiva pues se tiene



pero como Z/p no tiene divisores de cero, y "a" es no nulo, tendremos :
x – y = 0 x = y Ta es inyectiva
Por otro lado se ha de cumplir :



pero como Z/p es finito tenemos:

Card(Im Ta ) = Card (Z/p) Im Ta = Z/p Ta es sobreyectiva

Puesto que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva será biyectiva. En esas condiciones se tendrá :



Este elemento "e" deja invariante a cualquier elemento x Z/p, pues se tiene:
Ta (x) = a.x = (e.a).x = (a.e).x = a(e.x) = Ta (e.x) x = e.x
y esto para todo x perteneciente a Z/p por ser Ta inyectiva.

Tenemos entonces que existe elemento neutro para el producto y este es único, ya que de haber dos se cumpliría



Denotamos el elemento neutro para el producto en Z/p, por .

Para demostrar que se cumple el segundo axioma consideramos que según la aplicación biyectiva vista anteriormente, existirá un a' tal que

Ta (a') = 1 a.a' = 1 a' es simétrico de a

El elemento simétrico de uno dado es único. Si a' y a" son simétricos de a, se tiene :



Está claro que el elemento simétrico de a lo podemos obtener haciendo:
a.a' = 1 a' = 1/a = a-1
Con todo lo hecho hemos demostrado que Z/p es un cuerpo o campo que al ser finito es un campo de Galois.
 
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