PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de álgebra de Boole

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Problemas resueltos de Algebra de Boole

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Ejercicios de álgebra de Boole

Respuesta al ejercicio 3
Partiendo de la base de que Z/p es un anillo conmutativo tenemos que demostrar que se cumplen los dos axiomas siguientes
a) existe un único elemento 1 en Z/p tal que : \( \forall a \in Z/p \; : \; a1 = 1a = a \)
b) Para cada a distinto de 0 existe un elemento inverso de a tal que \( aa^{-1} = 1 \)
Para el primero demostraremos previamente que para p primo Z/p no tiene divisores de cero; esto es :
    \( \bar{a} \neq 0 \quad ; \quad \bar{b} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \bar{a}·\bar{b} = 0 \)
Supongamos que se tiene: \(\bar{a}\bar{b} = 0 \), entonces \(ab = np \; \textrm{ con } n \in N \) a.b = n.p (con n ∈ N)
Puesto que a.b es múltiplo de p, y p es primo, uno al menos de los números a, b será múltiplo de p ; esto es, en Z/p uno al menos de los factores a , b debe ser igual a 0.
Definimos ahora una aplicación llamada traslación de un elemento a, no nulo, en la forma :
    \( T_a \quad : \quad Z/p \quad \Rightarrow \quad Z/p \quad ; \quad x \quad \rightarrow \quad ax \)
Esta aplicación es biyectiva pues se tiene
    \(T_a(x) = T_a(y) \; \Rightarrow \; ax = ay \; \Rightarrow \; ax - ay = 0 \; \Rightarrow \; a(x-y) = 0 \)
pero como Z/p no tiene divisores de cero, y \( ^\prime a ^\prime \) es no nulo, tendremos :
    \( x-y = 0 \Rightarrow x = y \Rightarrow T_a \; \) es inyectiva
x – y = 0 ⇒ x = y ⇒ Ta es inyectiva
Por otro lado se ha de cumplir :
    \( \forall y \in Z/p \quad ; \quad \exists \; x \in Z/p \quad | \quad T_a(x) = y \)
pero como Z/p es finito tenemos:

Card(Im Ta ) = Card (Z/p) ⇒ Im Ta = Z/p ⇒ Ta es sobreyectiva

Puesto que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva será biyectiva. En esas condiciones se tendrá :
    \( \exists \; e \in Z/p \quad | \quad T_a(e) = a \quad \Rightarrow \quad ea = ae = a \)
Este elemento "e" deja invariante a cualquier elemento x ∈ Z/p, pues se tiene:
Ta (x) = a.x = (e.a).x = (a.e).x = a(e.x) = Ta (e.x) ⇒ x = e.x
y esto para todo x perteneciente a Z/p por ser Ta inyectiva.

Tenemos entonces que existe elemento neutro para el producto y este es único, ya que de haber dos se cumpliría
    \(\begin{array}{l} \forall a \in Z/p \quad \left\{\begin{array}{c} ae_1 = a \\ \\ ae_2 = a \end{array}\right\} \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \; ae_1 - ae_2 = 0 \; ; \; a(e_1-e_2) = 0 \; \Rightarrow \; e_1 = e_2 \end{array} \)
Denotamos el elemento neutro para el producto en Z/p, por \( \bar{1} \) .

Para demostrar que se cumple el segundo axioma consideramos que según la aplicación biyectiva vista anteriormente, existirá un a' tal que

Ta (a') = 1 ⇒ a.a' = 1 ⇒ a' es simétrico de a

El elemento simétrico de uno dado es único. Si a' y a" son simétricos de a, se tiene :
    \( \left.\begin{array}{c} a^{\prime \prime}aa^\prime = 1a^\prime = a^\prime \\ \\ a^{\prime \prime}aa^\prime = a^{\prime \prime}1 = a^{\prime \prime} \end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad a^\prime = a^{\prime \prime} \)
Está claro que el elemento simétrico de a lo podemos obtener haciendo:
a.a' = 1 ⇒ a' = 1/a = a-1
Con todo lo hecho hemos demostrado que Z/p es un cuerpo o campo que al ser finito es un campo de Galois.
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tema escrito por: José Antonio Hervás