Demostrar
que si P es un número entero primo, el anillo de los enteros módulo
p forma un campo, denominado campo de Galois GF(P)
Supongamos que se tiene:
,
entonces a.b = n.p (con n 
N)
Puesto que a.b es múltiplo de p, y p es primo, uno al menos de los números a, b será múltiplo de p ; esto es, en Z/p uno al menos de los factores a , b debe ser igual a 0.
Definimos ahora una aplicación llamada traslación de un elemento a, no nulo, en la forma :
Esta aplicación es biyectiva pues se tiene
pero como Z/p no tiene divisores de cero, y "a" es no nulo, tendremos :
pero como Z/p es finito tenemos:
Card(Im Ta ) = Card (Z/p)
Im Ta = Z/p
Ta es sobreyectiva
Puesto que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva será biyectiva. En esas condiciones se tendrá :
Este elemento "e" deja invariante a cualquier elemento x
Z/p, pues se tiene:
Tenemos entonces que existe elemento neutro para el producto y este es único, ya que de haber dos se cumpliría
Denotamos el elemento neutro para el producto en Z/p, por
.
Para demostrar que se cumple el segundo axioma consideramos que según la aplicación biyectiva vista anteriormente, existirá un a' tal que
Ta (a') = 1
a.a' = 1 a'
es simétrico de a
El elemento simétrico de uno dado es único. Si a' y a" son simétricos de a, se tiene :
Está claro que el elemento simétrico de a lo podemos obtener haciendo:
Respuesta 3Partiendo de la base de que Z/p es un anillo conmutativo tenemos que demostrar que se cumplen los dos axiomas siguientes
a) existe un único elemento 1 en Z/p tal que :Para el primero demostraremos previamente que para p primo Z/p no tiene divisores de cero; esto es :
b) Para cada a distinto de 0 existe un elemento inverso de a tal que
Supongamos que se tiene:
,
entonces a.b = n.p (con n N)Puesto que a.b es múltiplo de p, y p es primo, uno al menos de los números a, b será múltiplo de p ; esto es, en Z/p uno al menos de los factores a , b debe ser igual a 0.
Definimos ahora una aplicación llamada traslación de un elemento a, no nulo, en la forma :
Esta aplicación es biyectiva pues se tiene
pero como Z/p no tiene divisores de cero, y "a" es no nulo, tendremos :
x – y = 0Por otro lado se ha de cumplir :
pero como Z/p es finito tenemos:
Card(Im Ta ) = Card (Z/p)
Im Ta = Z/p
Ta es sobreyectivaPuesto que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva será biyectiva. En esas condiciones se tendrá :
Este elemento "e" deja invariante a cualquier elemento x
Z/p, pues se tiene:Ta (x) = a.x = (e.a).x = (a.e).x = a(e.x) = Ta (e.x)y esto para todo x perteneciente a Z/p por ser Ta inyectiva.
Tenemos entonces que existe elemento neutro para el producto y este es único, ya que de haber dos se cumpliría
Denotamos el elemento neutro para el producto en Z/p, por
.Para demostrar que se cumple el segundo axioma consideramos que según la aplicación biyectiva vista anteriormente, existirá un a' tal que
Ta (a') = 1
a.a' = 1 a'
es simétrico de aEl elemento simétrico de uno dado es único. Si a' y a" son simétricos de a, se tiene :
Está claro que el elemento simétrico de a lo podemos obtener haciendo:
a.a' = 1Con todo lo hecho hemos demostrado que Z/p es un cuerpo o campo que al ser finito es un campo de Galois.