PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de álgebra de Boole

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Problemas resueltos de Algebra de Boole

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Ejercicios de álgebra de Boole

Respuesta al ejercicio 2
En los casos que precede solo demostraremos una parte de cada teorema, deduciendo la otra del principio de dualidad.

Idempotencia
Por los axiomas 4b y 2a tenemos :
a + 0 = a + (a . a' ) = a
y aplicando el axioma 3 a :
a + (a . a' ) = (a + a) . (a + a') = a
Finalmente, por los axiomas 4 a y 2 b :
(a + a) . (a + a') = (a + a) . 1 = a + a = a
Demostrado

Elemento unidad
Partiendo del axioma 2 b y aplicando también los axiomas 3 a, 2 b y 4 a, tenemos :
1 + a = 1 . (1 + a) = (a + a') . (1 + a) = a + a' . 1 = a + a' = 1
Demostrado.

Absorción
Aplicando los axiomas 2b y 3b, el teorema anterior y el axioma 3b de nuevo
a + a.b = a.l + a.b = a(l + b) = a.l = a
Demostrado

Asociatividad
Para este teorema demostraremos antes que se cumple
a[(a + b) + c] = [(a + b) + c]a = a
Esto es : (por el postulado 3b) :
a[(a+b) + c] = a(a+b) + a.c = a + a.c = a = [(a+b) + c]a
donde hemos aplicado reiteradamente el teorema de absorción y finalmente el axioma de conmutatividad.
Con el anterior resultado supongamos que se tiene
x = [(a+b) + c] . [a + (b + c)]
aplicando los axiomas de distributividad nos queda :
    \( [(a+b) + c]a + [(a+b) + c].(b+c) = a + [(a+b) + c].(b.c) \)
donde hemos aplicado el resultado anterior. Aplicando de nuevo la distributividad, e1resultado anterior y el teorema de absorción :
      \(\begin{array}{l} a + {[(a+b) + c].b + [(a+b) + c].c} = \\  \\ = a + {b + [(a+b) + c].c} = a + (b + c) \end{array} \)
Por otro lado, aplicando los axiomas de distributividad, el resultado anterior y el teorema de absorción, tenemos también :
    \(\begin{array}{l}
    x = [(a + b) + c]. [a + (b + c)] = \\
    = (a + b) [a + (b + c)] + c[a + (b + c)] = \\
    = (a + b)[a + (b + c)] + c = \\= {a [a + (b + c)] + b[a + (b + c)]} + c = (a + b) + c
    \end{array} \)
Por todo ello, teniendo en cuenta la propiedad transitiva de la igualdad:
a + (b + c) = (a + b) + c
Demostrado.

Elemento único
Para demostrar que el complemento definido por el postulado 4 es único, supongamos que existen dos elementos a'1 y a'2 que lo satisfacen. Esto es :
a + a'1 = 1 ; a + a'2 = 1 ; a.a'1 = 0 ; a.a'2 = 0
por los postulados 2b y 3b tendremos :
    \( \begin{array}{l}
    a'_2 = 1.a'_2 = (a + a'_1).a'_2 = a.a'_2 + a'_1 . a'_2 = 0 + a'_1 . a'_2 = \\
     \\
    = a.a'_1 + a'_1.a'_2 = (a + a'_2).a'_1 = 1.a'_1 + a'_1
    \end{array}\)
Demostrado.

Involución
Para demostrar el teorema de involución tenemos :
(a')' . a' = 0 ; (a')' + a' = 1
a . a' = 0 ; a + a' = 1
en consecuencia, tanto (a')' como a son complementos de a' por lo que, teniendo en cuenta el teorema anterior, se deberá cumplir :
(a')' = a
demostrado.

Propiedad de los elementos identidad de un álgebra de Boole
Teniendo en cuenta los axiomas 2 y 4 :
1' = 1' . 1 = 0 ; 0' = 0'+ 0 = 1
Demostrado.

Leyes de Morgan
Para demostrar las leyes de Morgan tenemos en cuenta que el complementario de cualquier elemento de un álgebra de Boole es único. Tenemos :
    \(\begin{array}{l} (a+b)(\bar{a}\bar{b}) = a(\bar{a}\bar{b}) + b(\bar{a}\bar{b}) = \\  \\ = (a\bar{a})\bar{b}+(b\bar{b})a = 0+0 = 0 \end{array} \)
donde hemos aplicado el axioma de distributividad y el de conmutatividad y los teoremas de asociatividad y elemento unidad.
    \((a+b)+(\bar{a}\bar{b}) = (a+b+\bar{a})(a+b+\bar{b}) = \)

    \(= [(a+\bar{a}) + b][a+(b+\bar{b})] = (1+b)(a+1) = 1 \)
donde hemos aplicado los axiomas de distributividad conmutatividad y complementación y el teorema del elemento unidad.
Puesto que \((\bar{a}\bar{b})\) cumple los axiomas requeridos para ser el complementario de (a+b) y éste debe ser único, hemos llegado donde queríamos.
Demostrado.

Relación de orden
Veamos ahora si la ecuación a' + b = 1 define una relación de orden :

Reflexiva : \(\forall a \in B \; \Rightarrow \; a'+a=1 \; \Rightarrow \; aRa \)

Antisimétrica : Si \(a'+a = 1 \wedge a'+b =1 \; \Rightarrow \; a = b \) por el complemento único.

Transitiva : Si \( aRb \; \Rightarrow \; a' + b = 1 \; y \; a' \) es el complementario de b y si \( bRc \; \Rightarrow \; b' + c = 1 \; \) y c es el complementario de b'

De lo anterior se deduce:
c = b ⇒ a' + c = 1 ⇒ a R c
La implicación recíproca (a ≤ b ⇒ a' + b = 1 ) es trivial.
Demostrado

Sobre conjuntos
Para demostrar el último apartado consideramos las relaciones:
    \(\cap \; \leftrightarrow \; ^\prime^\prime \quad ; \quad \cup \; \leftrightarrow \; ^\prime + ^\prime \quad ; \quad \emptyset \; \leftrightarrow \; 0 \quad ; \quad E \; \leftrightarrow \; 1 \quad ; \quad C(S) \leftrightarrow \; S' \)
con esta transformación se comprueba fácilmente que el álgebra de conjuntos cumple los postulados de Huntington y, en consecuencia, es un álgebra de Boole. Demostrado.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES Y DE BOOLE
 


tema escrito por: José Antonio Hervás