Sea
un espacio métrico (E,d). Demostrar que la aplicación
definida en la forma :
Es una distancia sobre E.
Respuesta 3
Para que la aplicación definida sea una distancia es
necesario y suficiente que se cumplan las siguientes propiedades
:
Veamos si es así :
Para demostrar que se cumple el tercer axioma debemos hacer
varias consideraciones.
Sabemos que se tiene :
De ahí podemos hacer :
La expresión anterior es válida en cualquiera
de los tres siguientes supuestos :
Si 1 es menor que d(x,y) y menor que d(x,z) entonces Inf[1,d(x,y)]
e Inf[1,d(y,z)] valen 1
Si 1 está comprendido entre d(x,y) y d(y,z) entonces
Inf[1,d(x,y)+d(y,z)] = 1 y se obtiene la desigualdad puesto
que 1 nunca es mayor que 1 + d(x,y)
Si 1 es mayor que d(x,y) y mayor que d(y,z) podemos poner :
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