Sea un espacio métrico (E,d). Demostrar que la aplicación definida en la forma :



Es una distancia sobre E.

Respuesta 3

Para que la aplicación definida sea una distancia es necesario y suficiente que se cumplan las siguientes propiedades :



Veamos si es así :



Para demostrar que se cumple el tercer axioma debemos hacer varias consideraciones.
Sabemos que se tiene :



De ahí podemos hacer :



La expresión anterior es válida en cualquiera de los tres siguientes supuestos :

Si 1 es menor que d(x,y) y menor que d(x,z) entonces Inf[1,d(x,y)] e Inf[1,d(y,z)] valen 1

Si 1 está comprendido entre d(x,y) y d(y,z) entonces Inf[1,d(x,y)+d(y,z)] = 1 y se obtiene la desigualdad puesto que 1 nunca es mayor que 1 + d(x,y)

Si 1 es mayor que d(x,y) y mayor que d(y,z) podemos poner :