Problemas y ejercicios resueltos de Análisis Matemático. Ejercicio número tres

Sea un espacio métrico (E,d). Demostrar que la aplicación definida en la forma :

Es una distancia sobre E.

Respuesta 3

Para que la aplicación definida sea una distancia es necesario y suficiente que se cumplan las siguientes propiedades :

Veamos si es así :

Para demostrar que se cumple el tercer axioma debemos hacer varias consideraciones.
Sabemos que se tiene :

De ahí podemos hacer :

La expresión anterior es válida en cualquiera de los tres siguientes supuestos :

Si 1 es menor que d(x,y) y menor que d(x,z) entonces Inf[1,d(x,y)] e Inf[1,d(y,z)] valen 1

Si 1 está comprendido entre d(x,y) y d(y,z) entonces Inf[1,d(x,y)+d(y,z)] = 1 y se obtiene la desigualdad puesto que 1 nunca es mayor que 1 + d(x,y)

Si 1 es mayor que d(x,y) y mayor que d(y,z) podemos poner :

problema 01	problema 02	problema 03	problema 04	problema 05	problema 06	problema 07	problema 08	problema 09	problema 10
problema 11	problema 12	problema 13	problema 14	problema 15	problema 16	problema 17	problema 18	problema 19	problema 20
problema 21	problema 22	problema 23	problema 24	problema 25	problema 26	problema 27	problema 28	problema 29	problema 30
problema 31	problema 32	problema 33	problema 34	problema 35	problema 36	problema 37	problema 38	problema 39	problema 40
problema 41	problema 42	problema 43	problema 44	problema 45	problema 46	problema 47	problema 48	problema 49	problema 50