Ejercicios de análisis matemático

Sea un espacio métrico (E,d). Demostrar que la aplicación definida en la forma :

\( d^{\prime \prime} : E \times E \rightarrow R : d^{\prime \prime} = \liminf [1, d(x, y)] \)

Es una distancia sobre E.

Respuesta al ejercicio 3

Para que la aplicación definida sea una distancia es necesario y suficiente que se cumplan las siguientes propiedades :

\(\begin{array}{l} 1) \quad Si \; d(x, y) = 0 \Rightarrow x = y \quad ; \quad 2) d(x, y) = d(y, x) \quad ; \\  \\ 3) d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) \end{array} \)

Veamos si es así :

\( 1) d^{\prime \prime}(x, y) = 0 \; \rightarrow \; \textrm{Inf}[1, d(x, y)] = 0 \; \rightarrow \; d(x , y) = 0 \; \rightarrow \; x = y \)

\( 2) d^{\prime \prime}(x, y) = \textrm{Inf}[1, d(x, y)] = \textrm{Inf}[1, d(y, x)] = d^{\prime \prime}(y, x)\)

Para demostrar que se cumple el tercer axioma debemos hacer varias consideraciones.
Sabemos que se tiene :

\(d^{\prime \prime}(x, z) = \textrm{Inf}[1, d(x, z)] \quad ; \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) \)

De ahí podemos hacer :

\(\begin{array}{l} d^{\prime \prime}(x, z) = \textrm{Inf}[1, d(x, z)] \leq \textrm{Inf}[1, d(x, y) + d(y, z)] \leq \\  \\ \leq \textrm{Inf}[1, d(x, y)] + \textrm{Inf}[1, d(y, z)] \end{array} \)

La expresión anterior es válida en cualquiera de los tres siguientes supuestos :

Si 1 es menor que d(x,y) y menor que d(x,z) entonces Inf[1,d(x,y)] e Inf[1,d(y,z)] valen 1

Si 1 está comprendido entre d(x,y) y d(y,z) entonces Inf[1,d(x,y)+d(y,z)] = 1 y se obtiene la desigualdad puesto que 1 nunca es mayor que 1 + d(x,y)

Si 1 es mayor que d(x,y) y mayor que d(y,z) podemos poner :

Si \( \textrm{Inf}[1, d(x, y)+d(y,z)] = \left\{\begin{array}{l}
1 \quad \Rightarrow \quad 1 \leq \textrm{Inf}[1, d(x, y)] + \textrm{Inf}[1, d(y, z)] \\
\\
d(x, y) + d(y, z) \; \rightarrow \; \textrm{Inf}[1, d(x, y)+d(y,z)]=
\\
= \textrm{Inf}[1, d(x, y)] + \textrm{Inf}[1, d(y, z)]
\end{array}\right. \)