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Ejercicios de análisis matemático

Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo C de los números complejos. Se define el producto interior sobre E en la siguiente forma :
    \(\begin{array}{ll} 1) & \forall x, y \in E \quad (x, y) = \overline{(x, y)} \\ & \\ 2) & \forall \alpha \in C \quad (\alpha x, y) = \alpha (x, y) \\ & \\ 3) & (x_1+x_2, y) = (x_1, y) + (x_2, y) \end{array} \)
Demostrar que de las propiedades del producto interior se deducen :
    \( \begin{array}{ll} a) & (x, y_1+y_2) = (x, y_1) + (x, y_2) \\ & \\ b) & (x, \alpha y) = \bar{\alpha}(x, y) \; , \; \forall x, y \in E \; , \; \forall \alpha \in C \\ & \\ c) & (x_1-x_2, y) = (x_1, y)-(x_2, y) \\ & \\ d) & (x, 0)= 0 \quad ; \quad (x, 0y) = 0 \end{array} \)
Respuesta al ejercicio 4
Considerando los axiomas primero y tercero tenemos :
    \( (x, y_1+y_2) = \overline{(y-1+y-2 , x)} = \overline{(y_1, x)+(y_2,x)} = \)

    \( \overline{(y_1, x)}+\overline{(y_2,x)} = (x , y_1) + (x , y_2)\)
Considerando los axiomas primero y segundo resulta :
    \( (x, \alpha · y) = \overline{(\alpha·y , x)} = \overline{\alpha(x , y)} = \overline{\alpha} · \overline{(y , x)} = \overline{\alpha} (x , y) \)
Teniendo en cuenta los axiomas segundo y tercero :
    \(\begin{array}{l} (x_1-x_2 , y)[x_1 + (-x_2) , y] = \\  \\ = (x_1 , y) + (-x_2 , y) = (x_1 , y) - (x_2 , y) \end{array} \)
Finalmente, para demostrar el último apartado aplicamos el axioma 1 y la última propiedad demostrada :
    \(\begin{array}{l} (x , 0) = (x , x-x) = \overline{(x-x , x)} = \overline{(x , x)} - \overline{(x , x)} = 0 \quad ; \\  \\ \quad (x , 0y) = 0(x , y) = 0 \end{array} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás