PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de Analisis Matemático

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas y ejercicios resueltos

 

Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 2
Se han de cumplir los tres axiomas que definen una métrica:
    \( d(m_1, m_2) = 0 \Rightarrow |\sin \alpha_{12}| = 0 \Rightarrow \alpha_{12} = 0 \quad \Rightarrow \quad m_1 = m_2 \)
Se cumple, por tanto, el primer axioma ya que d(m1,m2) es siempre mayor que cero salvo en los casos en que m1 = m2 que vale cero.
    \( \begin{array}{l} d(m_1, m_2) = |\sin \alpha_{12}| \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow |\sin \alpha_{21}| = |\sin (2\pi - \alpha_{12})| = |- \sin \alpha_{12}| \end{array}\)
Pero como dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto, nos queda :
    \(d(m_1, m_2) = |\sin \alpha_{12}| = | \sin \alpha_{21} | = d(m_2, m_1)\)
Sean ahora tres rectas m1, m2 y m3 . Se tiene :
    \( \begin{array}{l} d(m_1 , m_3) = |\sin \alpha_{13}| \quad ; \quad d(m_1 , m_2) = \\  \\ = |\sin \alpha_{12}| \quad ; \quad d(m_2 , m_3) = |\sin \alpha_{23}| \end{array}\)
El ángulo \(\alpha_{13}\) podemos considerarlo de varias formas :
    \(\alpha_{13} = \alpha_{12}+\alpha_{23} \quad ; \quad \alpha_{13} = \alpha_{12} - \alpha_{23} \quad ; \quad \alpha_{13} = \alpha_{23}+\alpha_{12} \)
Resolviendo por la primera se tiene :
    \( \begin{array}{l} \sin \alpha_{13} = \sin (\alpha_{12}+\alpha_{23}) = \\  \\ = \sin(\alpha_{12})\cos (\alpha_{23}) + \cos (\alpha_{12})\sin (\alpha_{23}) \end{array}\)
Tomando valores absolutos y aplicando la desigualdad triangular :
    \( \begin{array}{l} |\sin \alpha_{13}| \leq |\sin(\alpha_{12})\cos (\alpha_{23})| + |\cos (\alpha_{12})\sin (\alpha_{23})| \leq \\  \\ \leq |\sin \alpha_{12}| + |\sin \alpha_{23}| \end{array}\)
ya que, en todos los casos, se tiene \(|\cos x| \leq 1\) por lo que se puede quitar sin variar el sentido de la desigualdad. Sustituyendo valores resulta finalmente :
    \( d(m_1, m_3) \leq d(m_1, m_2) + d(m_2, m_3) \)
Y vemos que E si tiene estructura de espacio métrico.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS
primero ~ : ~ anterior ~ : ~ siguiente


tema escrito por: José Antonio Hervás