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Sea E el conjunto de las rectas del plano que pasan por el origen y ₁₂ un ángulo comprendido entre 0 y /2 formado por las rectas m₁ y m₂. Se define :



Comprobar que dicha relación define en el conjunto E una estructura de espacio métrico.

Respuesta 2

Se han de cumplir los tres axiomas que definen una métrica:



Se cumple, por tanto, el primer axioma ya que d(m₁,m₂) es siempre mayor que cero salvo en los casos en que m₁ = m₂ que vale cero.



Pero como dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto, nos queda :



Sean ahora tres rectas m₁, m₂ y m₃ . Se tiene :



El ángulo ₁₃ podemos considerarlo de varias formas :



Resolviendo por la primera se tiene :



Tomando valores absolutos y aplicando la desigualdad triangular :



ya que, en todos los casos, se tiene por lo que se puede quitar sin variar el sentido de la desigualdad. Sustituyendo valores resulta finalmente :



Y vemos que E si tiene estructura de espacio métrico.