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MI COLECCIÓN DE PROBLEMAS RESUELTOS : ANÁLISIS MATEMÁTICO (VOLVER A LOS ENUNCIADOS)
 
Sea E el conjunto de las rectas del plano que pasan por el origen y 12 un ángulo comprendido entre 0 y /2 formado por las rectas m1 y m2. Se define :



Comprobar que dicha relación define en el conjunto E una estructura de espacio métrico.
Respuesta 2
Se han de cumplir los tres axiomas que definen una métrica:



Se cumple, por tanto, el primer axioma ya que d(m1,m2) es siempre mayor que cero salvo en los casos en que m1 = m2 que vale cero.



Pero como dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto, nos queda :



Sean ahora tres rectas m1, m2 y m3 . Se tiene :



El ángulo 13 podemos considerarlo de varias formas :



Resolviendo por la primera se tiene :



Tomando valores absolutos y aplicando la desigualdad triangular :



ya que, en todos los casos, se tiene por lo que se puede quitar sin variar el sentido de la desigualdad. Sustituyendo valores resulta finalmente :



Y vemos que E si tiene estructura de espacio métrico.


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