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Enunciado 1

En el conjunto

E = (- π /2 , + π /2) se definen las aplicaciones :



Comprobar que d₁ y d₂ son métricas definidas en E y que E es completo para d₂ pero no lo es para d₁.

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Enunciado 2

Sea E el conjunto de las rectas del plano que pasan por el origen y α ₁₂ un ángulo comprendido entre 0 y π/2 formado por las rectas m₁ y m₂. Se define :



Comprobar que dicha relación define en el conjunto E una estructura de espacio métrico.

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Enunciado 3

Sea un espacio métrico (E,d). Demostrar que la aplicación definida en la forma :



Es una distancia sobre E.

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Enunciado 4

Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo C de los números complejos. Se define el producto interior sobre E en la siguiente forma :



Demostrar que de las propiedades del producto interior se deducen :

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Enunciado 5

Demostrar que para cualesquiera elementos a y b del conjunto de los números reales positivos, se cumple :


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Enunciado 6

Sea f integrable sobre a ≤ x ≤ b ; se define :



Demostrar que se cumple :

L(f + g) ≤ L(f) + L(g)

¿Se puede definir a partir de L una distancia?

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Enunciado 7

Sean {u_n} y {v_n} sucesiones en R y una serie convergente de términos positivos. Si es :



Probar que se verifica :

L(u + v) ≤ L(u) + L(v)

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Enunciado 8

Sea el intervalo I = [a,b] incluido en R. Para dicho intervalo y en el conjunto de las funciones continuas se define :



probar que v es una norma.

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