Problemas y ejercicios resueltos de Análisis Matemático

E = (-

/2 , +

/2) se definen las aplicaciones :

Comprobar que d₁ y d₂ son métricas definidas en E y que E es completo para d₂ pero no lo es para d₁.

Enunciado 2

Sea E el conjunto de las rectas del plano que pasan por el origen y

₁₂ un ángulo comprendido entre 0 y

/2 formado por las rectas m₁ y m₂. Se define :

Comprobar que dicha relación define en el conjunto E una estructura de espacio métrico.

Enunciado 3

Sea un espacio métrico (E,d). Demostrar que la aplicación definida en la forma :

Es una distancia sobre E.

Enunciado 4

Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo C de los números complejos. Se define el producto interior sobre E en la siguiente forma :

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Demostrar que de las propiedades del producto interior se deducen :

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Enunciado 5

Demostrar que para cualesquiera elementos a y b del conjunto de los números reales positivos, se cumple :

Enunciado 6

Sea f integrable sobre a

b ; se define :

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Demostrar que se cumple :

¿Se puede definir a partir de L una distancia?

Enunciado 7

Sean {u_n} y {v_n} sucesiones en R y

una serie convergente de términos positivos. Si es :

Probar que se verifica :

Enunciado 8

Sea el intervalo I = [a,b] incluido en R. Para dicho intervalo y en el conjunto de las funciones continuas se define :

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probar que v es una norma.

Enunciado 9

Hallar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones :

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Enunciado 10

Sea la función :

Determinar las funciones f y z, si z = x para y = 1.