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EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO
EJERCICIOS RESUELTOS DE TOPOLOGÍA
 
Ejercicios de análisis matemático - enunciado 1

En el conjunto

E = (- π /2 , + π /2) se definen las aplicaciones :
    \(d_1(x, y) = |x-y| \quad ; \quad d_2(x, y) = |\tan x- \tan y| \)
Comprobar que d1 y d2 son métricas definidas en E y que E es completo para d2 pero no lo es para d1.
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 2

Sea E el conjunto de las rectas del plano que pasan por el origen y α 12 un ángulo comprendido entre 0 y π/2 formado por las rectas m1 y m2. Se define :
    \( d(m_1 , m_2) = |\sin \alpha _{12}|\)
Comprobar que dicha relación define en el conjunto E una estructura de espacio métrico.
Ejercicios de análisis matemático - enunciado 3

Sea un espacio métrico (E,d). Demostrar que la aplicación definida en la forma :
    \( d^{\prime \prime} : E \times E \rightarrow R : d^{\prime \prime} = \liminf [1, d(x, y)] \)
Es una distancia sobre E.
Ejercicios de análisis matemático - enunciado 4

Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo C de los números complejos. Se define el producto interior sobre E en la siguiente forma :
    \(\begin{array}{ll} 1ª) & \forall x, y \in E \quad (x, y) = \overline{(x, y)} \\ & \\ 2ª) & \forall \alpha \in C \quad (\alpha ·x, y) = \alpha (x, y) \\ & \\ 3ª) & (x_1+x_2, y) = (x_1, y) + (x_2, y) \end{array} \)
Demostrar que de las propiedades del producto interior se deducen :
    \( \begin{array}{ll} a) & (x, y_1+y_2) = (x, y_1) + (x, y_2) \\ & \\ b) & (x, \alpha ·y) = \bar{\alpha}(x, y) \; , \; \forall x, y \in E \; , \; \forall \alpha \in C \\ & \\ c) & (x_1-x_2, y) = (x_1, y)-(x_2, y) \\ & \\ d) & (x, 0)= 0 \quad ; \quad (x, 0·y) = 0 \end{array} \)
Ejercicios de análisis matemático - enunciado 5

Demostrar que para cualesquiera elementos a y b del conjunto de los números reales positivos, se cumple :
    \( \displaystyle \frac{a+b}{1+a+b} \leq \frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b}\)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 6

Sea f integrable sobre a ≤ x ≤ b ; se define :
    \(\displaystyle L(f) = \int \limits _a^b \frac{|f(x)|}{a + |f(x)|}·dx\)
Demostrar que se cumple :
    L(f + g) ≤ L(f) + L(g)
¿Se puede definir a partir de L una distancia?
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 7

Sean {un} y {vn} sucesiones en R y \(\sum a_n\) una serie convergente de términos positivos. Si es :
    \( \displaystyle L(u) = \sum _n a_n · \frac{|u_n|}{1 + |u_n|} \quad ; \quad L(v) = \sum _n a_n · \frac{|v_n|}{1 + |v_n|} \)
Probar que se verifica :
L(u + v) ≤ L(u) + L(v)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 8

Sea el intervalo I = [a,b] incluido en R. Para dicho intervalo y en el conjunto de las funciones continuas se define :
    \( \displaystyle v(f) = \int \limits _a^b |f(t)|dt \)
probar que v es una norma.
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tema escrito por: José Antonio Hervás