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PROBLEMAS y EJERCICIOS RESUELTOS de ANÁLISIS MATEMÁTICO (II)

Enunciado 1

En el conjunto

E = (- /2 , + /2) se definen las aplicaciones :



Comprobar que d1 y d2 son métricas definidas en E y que E es completo para d2 pero no lo es para d1.

Ver Solución.
Enunciado 2

Sea E el conjunto de las rectas del plano que pasan por el origen y 12 un ángulo comprendido entre 0 y /2 formado por las rectas m1 y m2. Se define :



Comprobar que dicha relación define en el conjunto E una estructura de espacio métrico.
Ver Solución.
Enunciado 3

Sea un espacio métrico (E,d). Demostrar que la aplicación definida en la forma :



Es una distancia sobre E.
Ver Solución.
Enunciado 4

Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo C de los números complejos. Se define el producto interior sobre E en la siguiente forma :



Demostrar que de las propiedades del producto interior se deducen :


Ver Solución.
Enunciado 5

Demostrar que para cualesquiera elementos a y b del conjunto de los números reales positivos, se cumple :


Ver Solución.

Enunciado 6

Sea f integrable sobre a x b ; se define :



Demostrar que se cumple :
L(f + g) L(f) + L(g)
¿Se puede definir a partir de L una distancia?
Ver Solución.

Enunciado 7

Sean {un} y {vn} sucesiones en R y una serie convergente de términos positivos. Si es :



Probar que se verifica :
L(u + v) L(u) + L(v)
Ver Solución.

Enunciado 8

Sea el intervalo I = [a,b] incluido en R. Para dicho intervalo y en el conjunto de las funciones continuas se define :



probar que v es una norma.
Ver Solución.
Enunciado 9

Hallar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones :



Ver Solución.
Enunciado 10

Sea la función :



Determinar las funciones f y z, si z = x para y = 1.
Ver Solución.


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