PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de estructuras algebraicas

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Ejercicios resueltos de Estructuras algebraicas

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Ejercicios de estructuras algebraicas

Respuesta al ejercicio 19

La característica de un anillo A es su orden, considerado A como grupo aditivo, cuando está engendrado por un elemento e perteneciente a A. La característica del anillo será, por tanto, el menor entero positivo que cumpla:
    \( p·e = \overbrace{ e+e++e}^{p \; veces} = 0 \)
Si no existe ningún entero positivo tal que p•e = 0, se dice, por definición, que la característica del anillo es 0 y, en ese caso, A es isomorfo a Z.
Continuando con el problema, tenemos: Si A es de característica 2, podemos poner:
    \( e+e = 2e = 0 \)
Y para cualquier elemento del anillo:
    \( x+x = 2·x = 2(e·x) = (2·e)x = 0·x = 0 \; \Rightarrow \; x+x = 0 \; \Rightarrow \; x = -x \)
Por otro lado, podemos poner:
    \( (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 \)
Por ser x e y conmutables, podemos escribir:
    \( x^2 + xy + yx + y^2 = x^2 + xy + xy + y^2 = x^2 + x(y+y) + y^2 \)
Pero, según hemos visto anteriormente, se tiene: (y + y) = 0, con lo cual
    \( x^2 + x(y+y) + y^2 = x^2 + x0 + y^2 = x^2 + y^2\)
Por otro parte, al haber deducido anteriormente que x = -x, podemos hacer:
    \(\begin{array}{l} (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = \\  \\ = x^2 - xy - yx + y^2 = (x-y)^2 \end{array} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás