Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 19

La característica de un anillo A es su orden, considerado A como grupo aditivo, cuando está engendrado por un elemento e perteneciente a A. La característica del anillo será, por tanto, el menor entero positivo que cumpla:

\( p·e = \overbrace{ e+e+\cdots+e}^{p \; veces} = 0 \)

Si no existe ningún entero positivo tal que p•e = 0, se dice, por definición, que la característica del anillo es 0 y, en ese caso, A es isomorfo a Z.
Continuando con el problema, tenemos: Si A es de característica 2, podemos poner:

\( e+e = 2·e = 0 \)

Y para cualquier elemento del anillo:

\( x+x = 2·x = 2(e·x) = (2·e)x = 0·x = 0 \quad \Rightarrow \quad x+x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -x \)

Por otro lado, podemos poner:

\( (x+y)^2 = x^2 + x·y + y·x + y^2 \)

Por ser x e y conmutables, podemos escribir:

\( x^2 + x·y + y·x + y^2 = x^2 + x·y + x·y + y^2 = x^2 + x(y+y) + y^2 \)

Pero, según hemos visto anteriormente, se tiene: (y + y) = 0, con lo cual

\( x^2 + x(y+y) + y^2 = x^2 + x·0 + y^2 = x^2 + y^2\)

Por otro parte, al haber deducido anteriormente que x = -x, podemos hacer:

\( (x+y)^2 = x^2 + x·y + y·x + y^2 = x^2 - x·y - y·x + y^2 = (x-y)^2\)