Ejercicios de estructuras algebraicas - Respuesta 18

Un dominio de integridad es un anillo con elemento unidad, sin divisores de cero y conmutativo. Siendo a uno de los elementos del dominio que coinciden con su opuesto, podemos escribir:

\( a=-a \quad \Rightarrow \quad a+a=0 \)

Operando por la izquierda con el elemento unidad:

\( e(a+a) = e·0 = 0 \)

Aplicando la propiedad distributiva y conmutativa para la segunda ley:

\( e(a+a) = e·a + e·a = a·e + a·e = a(e+e) = 0 \)

Si a es distinto de 0, por tratarse de un dominio de integridad, se cumple:

\( a \neq 0 \quad \Rightarrow \quad e+e = 0 \)

Pero, evidentemente, esto no ocurre siempre así. Por lo tanto, podemos considerar dos partes.
Si e + e es igual a 0, todo elemento del anillo coincide con su opuesto
Si e + e es distinto de 0, sólo coincide con su opuesto el elemento neutro que es el 0.