En un dominio de integridad, hállense los elementos que coinciden con su opuesto. Demostrar que si se tiene:



Entonces 0 es el único elemento que coincide con su opuesto.

RESPUESTA 18

Un dominio de integridad es un anillo con elemento unidad, sin divisores de cero y conmutativo. Siendo a uno de los elementos del dominio que coinciden con su opuesto, podemos escribir:



Operando por la izquierda con el elemento unidad:



Aplicando la propiedad distributiva y conmutativa para la segunda ley:



Si a es distinto de 0, por tratarse de un dominio de integridad, se cumple:



Pero, evidentemente, esto no ocurre siempre así. Por lo tanto, podemos considerar dos partes.
Si e + e es igual a 0, todo elemento del anillo coincide con su opuesto
Si e + e es distinto de 0, sólo coincide con su opuesto el elemento neutro que es el 0.