PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de estructuras algebraicas

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Ejercicios de estructuras algebraicas

Respuesta al ejercicio 18

Un dominio de integridad es un anillo con elemento unidad, sin divisores de cero y conmutativo. Siendo a uno de los elementos del dominio que coinciden con su opuesto, podemos escribir:
    \( a=-a \quad \Rightarrow \quad a+a=0 \)
Operando por la izquierda con el elemento unidad:
    \( e(a+a) = e0 = 0 \)
Aplicando la propiedad distributiva y conmutativa para la segunda ley:
    \( e(a+a) = ea + ea = ae + ae = a(e+e) = 0 \)
Si a es distinto de 0, por tratarse de un dominio de integridad, se cumple:
    \( a \neq 0 \quad \Rightarrow \quad e+e = 0 \)
Pero, evidentemente, esto no ocurre siempre así. Por lo tanto, podemos considerar dos partes.
Si e + e es igual a 0, todo elemento del anillo coincide con su opuesto
Si e + e es distinto de 0, sólo coincide con su opuesto el elemento neutro que es el 0.
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tema escrito por: José Antonio Hervás